平面向量的数量积教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）教材分析：教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。教学目标：1.掌握平面向量数量积的定义2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学方法：1.问题引导法2.师生共同探究法教学过程：一．回顾旧知向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：（1）aa（2）当λ0时,a的方向与a方向相同，当λ0时,a的方向与a方向相反特别地，当0或0a时，0a向量的数乘运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=a②(λ+μ)a=aa③λ(a+b)=ba二．情景创设问题1.我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？三．学生活动联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。问题2.在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为多少？W可由下式计算：W＝｜F｜·｜s｜cosθ，其中θ是F与s的夹角.若把功W看成是两向量F和S的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念.四．建构数学1.向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定（2）是a与b的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）当θ＝0时，a与b同向；a·b＝｜a｜｜b｜cos0＝｜a｜｜b｜当θ＝π2时，a与b垂直，记a⊥b；a·b＝｜a｜｜b｜cos2=0当θ＝π时，a与b反向；a·b＝｜a｜｜b｜cos=－｜a｜｜b｜（3）规定0·a＝0；a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aa＝2a（4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替2.向量数量积的运算律已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝b·a(交换律)②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)④(a·b)c≠a(b·c)（一般不满足结合律）五．例题剖析加深对数量积定义的理解例1判断正误，并简要说明理由.①a0＝0；②0a＝0；③若a0，则对任意非零向量b，有0ba④如果0ba，那么a与b夹角为锐角⑤若cbca，则ba⑥若0c且cbca，则ba⑦若ba//，则a·b＝｜a｜｜b｜⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2数量积定义运用例2：已知a2，b3，θ为a与b的夹角，分别在下列条件下求a·b（1）a与b的夹角为135°（2）a∥b（3）a⊥b变式：已知｜a｜＝4，｜b｜＝6，a与b的夹角θ为60°，求（1）ba（2）baa（3）baba32概念辨析，正确理解向量夹角定义例3已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求BC→·CA→变式：三角形ABC中，若0CABC,判断三角形ABC的形状BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,.4求已知中在平行四边形例DAAB.2六．课堂小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.七．课堂检测1.若m=4，n=6，m与n的夹角为0150，则nm.2.若ba0，则a与b的夹角的取值范围是（）A.0,2B.,2C.,2D.,23.下列等式中，其中正确的是（）①22aa②2aba=ab③222baba④2ba=222bbaaA.1个B.2个C.3个D.4个4.已知5a，8b，20ba，则a与b的夹角为。5.已知单位向量1e和2e的夹角为060，则2121232eeee。八．课后作业必做题：课本81页习题2.4第1，2题九．教学反思教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。