2016年高考全国2卷理数试题(解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（A）31，（B）13，（C）1,+（D）3-，【解析】A∴30m，10m，∴31m，故选A．（2）已知集合{1,23}A,，{|(1)(2)0}BxxxxZ，，则AB（A）1（B）{12}，（C）0123，，，（D）{10123}，，，，【解析】C120ZBxxxx，12Zxxx，，∴01B，，∴0123AB，，，，故选C．（3）已知向量(1,)(3,2)amb，=，且()abb，则m=（A）8（B）6（C）6（D）8【解析】D42abm，，∵()abb，∴()122(2)0abbm解得8m，故选D．（4）圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a=（A）43（B）34（C）3（D）2【解析】A圆2228130xyxy化为标准方程为：22144xy，故圆心为14，，24111ada，解得43a，故选A．（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A）24（B）18（C）12（D）9【解析】BEF有6种走法，FG有3种走法，由乘法原理知，共6318种走法故选B．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得2r，2π4πcr，由勾股定理得：222234l，21π2Srchcl表4π16π8π28π，故选C．（7）若将函数y=2sin2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A）ππ26kxkZ（B）ππ26kxkZ（C）ππ212Zkxk（D）ππ212Zkxk【解析】B平移后图像表达式为π2sin212yx，令ππ2π+122xk，得对称轴方程：ππ26Zkxk，故选B．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x，2n，依次输入的a为2，2，5，则输出的s（A）7（B）12（C）17（D）34【解析】C第一次运算：0222s，第二次运算：2226s，第三次运算：62517s，故选C．（9）若π3cos45，则sin2=（A）725（B）15（C）15（D）725【解析】D∵3cos45，2ππ7sin2cos22cos12425，故选D．（10）从区间0,1随机抽取2n个数1x,2x，…，nx，1y，2y，…，ny，构成n个数对11,xy，22,xy，…，,nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A）4nm（B）2nm（C）4mn（D）2mn【解析】C由题意得：12iixyin，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41mn，∴4πmn，故选C．（11）已知1F，2F是双曲线E：22221xyab的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，sin2113MFF,则E的离心率为（A）2（B）32（C）3（D）2【解析】A离心率1221FFeMFMF，由正弦定理得12211222sin321sinsin13FFMeMFMFFF．故选A．（12）已知函数Rfxx满足2fxfx，若函数1xyx与yfx图像的交点为11xy，，22xy，，⋯，mmxy，，则1miiixy（）（A）0（B）m（C）2m（D）4m【解析】B由2fxfx得fx关于01，对称，而111xyxx也关于01，对称，∴对于每一组对称点'0iixx'=2iiyy，∴111022mmmiiiiiiimxyxym，故选B．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，1a，则b．【解析】2113∵4cos5A，5cos13C，3sin5A，12sin13C，63sinsinsincoscossin65BACACAC，由正弦定理得：sinsinbaBA解得2113b．（14），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：①如果mn，m，n∥，那么．②如果m，n∥，那么mn．③如果a∥，m，那么m∥．④如果mn∥，∥，那么m与所成的角和n与所成的角相等．【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是【解析】(1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3），（16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln1yx的切线，b．【解析】1ln2ln2yx的切线为：111ln1yxxx（设切点横坐标为1x）ln1yx的切线为：22221ln111xyxxxx∴122122111ln1ln11xxxxxx解得112x212x∴1ln11ln2bx．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）nS为等差数列na的前n项和，且11a，728S．记lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg991．（Ⅰ）求1b，11b，101b；（Ⅱ）求数列nb的前1000项和．【解析】⑴设na的公差为d，74728Sa，∴44a，∴4113aad，∴1(1)naandn．∴11lglg10ba，1111lglg111ba，101101101lglg2ba．⑵记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb121000lglglgaaa．当0lg1na≤时，129n，，，；当1lg2na≤时，101199n，，，；当2lg3na≤时，100101999n，，，；当lg3na时，1000n．∴1000091902900311893T．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345≥保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345≥概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，()1()1(0.300.15)0.55PAPA．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，()0.100.053()()0.5511PABPBAPA．⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费0.850.300.151.250.201.50.201.750.1020.05EXaaaaa0.2550.150.250.30.1750.11.23aaaaaaa，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5AB，6AC，点E，F分别在AD，CD上，54AECF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置10OD.（I）证明：DH平面ABCD；（II）求二面角BDAC的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AECF，∴AECFADCD，∴EFAC∥．∵四边形ABCD为菱形，∴ACBD，∴EFBD，∴EFDH，∴EFDH．∵6AC，∴3AO；又5AB，AOOB，∴4OB，∴1AEOHODAO，∴3DHDH，∴222'ODOHDH，∴'DHOH．又∵OHEFHI，∴'DH面ABCD．⑵建立如图坐标系Hxyz．500B，，，130C，，，'003D，，，130A，，，430ABuuur，，，'133ADuuur，，，060ACuuur，，，设面'ABD法向量1nxyz，，ur，由1100nABnAD得430330xyxyz，取345xyz，∴1345nur，，．同理可得面'ADC的法向量2301nuur，，，∴12129575cos255210nnnnuruururuur，∴295sin25．（20）（本小题满分12分）已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)kk的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（I）当4t，AMAN时，求△AMN的面积；（II）当2AMAN时，求k的取值范围.【解析】⑴当4t时，椭圆E的方程为22143xy，A点坐标为20，，则直线AM的方程为2ykx．联立221432xyykx并整理得，2222341616120kxkxk解得2x或228634kxk，则2222286121213434kAMkkkk因为AMAN，所以2221121211413341ANkkkkk因为AMAN，0k，所以2221212114343kkkkk，整理得21440kkk，2440kk无实根，所以1k．所以AMN△的面积为22111214411223449AM．⑵直线AM的方程为ykxt，联立2213xytykxt并整理得，22222