3-2洛必达法则--高数

高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20201§3.2洛必达法则主要内容：洛必达法则；重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件；难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。一、00型及型未定式解法：洛必达法则定义1如果当()xax时，两个函数()fx与()gx都趋于零或都趋于无穷大，那么极限()()()limxaxfxgx叫做未定式，并简记为00或。如重要极限0sinlimxxx就是00型未定式的一个例子。此时“商的极限等于极限之商”法则失效。那其极限如何求？1：00型未定式定理1(洛必达法则)：设001)lim()lim()0xxxxfxgx2）在点0x的某个去心邻域0(,)x内，()fx及()gx都存在且()0gx；3)0()lim()xxfxgx存在（或为无穷大），那么00()()limlim()()xxxxfxfxgxgx。定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。证明：利用柯西中值定理推导。注意:1..若0()lim()xxfxgx仍属00型，且(),()fxgx满足定理1条件，则高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20202000()()()limlimlim()()()xxxxxxfxfxfxgxgxgx。且可以类推下去，直到求出极限。2.定理1中0xx换为0,xx0xx之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。定理2设：设1)lim()lim()0xxfxgx2)X当xX时，()fx及()gx都存在且()0gx；3)()lim()xfxgx存在（或为无穷大），那么()()limlim()()xxfxfxgxgx。注：定理2中把x换成,xx之一，条件2)作相应的修改，定理2仍然成立。例1例1求.tanlim0xxx)00(解：原式)()(tanlim0xxx1seclim20xx=1例2求332132lim.1xxxxxx解：原式22133lim321xxxx16lim62xxx32注意：上式中的16lim62xxx16lim16x，（因为16lim62xxx已不再是不定式，不能对它再用洛必达法则）。在反复应用洛必达法则的过程中，要特别注意验证每次所求的极限是不是未定式，如果不是，就不能应用洛必达法则。又如11lim.1nmxxnxm高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20203例3计算30cos1limxxxx。解：32001sincos121limlim3xxxxxxxx。例4计算201sinlimsinxxxx。解：这是00型，若用洛必达法则计算得：2220001111112sincossin2sincoslimlimlimsincoscosxxxxxxxxxxxxxxxx不存在。说明：由此认为极限不存在是错误的。因为使用此法则计算极限时，必须有0()lim()xxfxgx存在（或为无穷大）。显然对于此例这个条件不满足，因此不能用洛必达法则。事实上，20001sin1limlimlimsin100.sinsinxxxxxxxxxx注：0()lim()xxfxgx不存在（或不为无穷大）时，不能用洛必达法则。考虑其他求极限方法计算。例50sin1lim1cosxxxx分析：直接用洛必达法则分子的导数会变得很复杂，可结合无穷小转化为书本例1解：由于211cos2xx，所以3002sin1sin1lim2lim.132xxxxxxxx(最后的等式利用法则)注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，例如能化简高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20204尽可能化简，可以用等价无穷小来替代或可用重要极限时尽可能应用，效果更好.二、型未定式定理3.设1)00()()()()limlimxxxxxxfxgx2)()fx与()gx在0()x，内(或xX时)可导，且()0gx3)0()()()limxxxfxgx存在（无穷大）那么00()()()()()()limlimxxxxxxfxfxgxgx.注：定理3中的极限换成单侧极限，定理结论仍然成立。例6求.sinlnsinlnlim0bxaxx)(解：原式axbxbbxaxaxsincossincoslim0axbxxcoscoslim0=1。（无穷小替换）例7求解：11ln1limlimlim0.aaaxxxxxxaxax（为什么a的范围不需要考虑）？？？？？例8求lim(.nxxxne为正整数)解：原式1limnxxnxe!lim0nxxne说明：n不为正整数的情形结论仍成立，可用夹逼准则证明(文科可不讲)存在正整数k，使当x1时，1knkxxx，从而1knkxxxxxxeee.例5求高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/2020521arctanlim.xxx解：原式2211lim1xxx22lim1xxx211lim11xx＝思考(补充知识)：如何求21arctanlimnnn（n为正整数）(21arctannn为子列21arctanxx，故极限为1)满足定理条件的某些情况下洛必达法则可能不能解决计算问题，例如，例6计算coslimxxxx(型))(先练习后讲解)解：由于coslimlim(1sin)xxxxxx不存在，故洛必达失效。事实上，coscoslimlim(1)1xxxxxxx。？？同时由这个例子也说明了)()(xgxf的极限不存在，并不能说明)()(xgxf的极限也不存在。三、其他未定式：000,,0,1,型关于000,,0,1,型的极限的求法：通过恒等变形化为00或型，再用洛必达法则。1)0取倒数0()0或2)型通分0()0或3)若()lim()gxfx为000,1,型:法一：可设()()gxyfx，并做恒等变形为()ln()()exp{()ln()}exp1()gxfxyfxgxfxgx。高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20206再用洛必达法则计算ln()lim1()fxgx，则()ln()lim()limexp1()gxfxfxgx。法二：对()()gxyfx两边取对数：ln()ln()ygxfx化为0型未定式。例9求求.lim2xxex(0型，取倒数)解：原式2limlim2xxxxeexx2limxxe2limxxe.例10求2lim(sectan).xxx(型，通分)解：原式＝2221sin1sincoslim()limlim0coscoscossinxxxxxxxxxx例8求0lim.xxx(00型)解：法1：0limlnln000limlim1xxxxxxxxxeee（利用例5）法2：令.xyx则lnln.yxx由于0000021lnlimlnlimlnlimlimlim011xxxxxxxyxxxxx，所以1例9求)1(解：原式xxxeln111limxxxe1lnlim111lim1xxe.1e例10求.)(cotlimln10xxx)(0高等数学教案第三章中值定理与导数的应用陈群4/16/20207解：取对数得,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex)ln(cotln1lim0xxxxxxx1sin1cot1lim20xxxxsincoslim0,1原式.1e练习1、3320000sin0sin01cossin1limlimlimlim.tan00366xxxxxxxxxxxxxx2、1111ln1lnlimlimlim11ln(1)lnlnxxxxxxxxxxxxxxx11lnln11limlimln1ln22xxxxxxxxx3、11121ln(1)1limlnln(1)0limlim11lnlnxxxxxxxxxx2211lnln2lnlimlim011xxxxxxx4、11ln0limxxx11ln00011limlimexp{ln}explimln.1ln1lnxxxxxxxexx