锐角三角函数与解直角三角形

2017中考复习：锐角三角函数与解直角三角形第二章安徽五年探究-2-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形安徽五年探究命题解读考纲解读理解锐角三角函数的意义,了解并能熟记特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值;能够利用直角三角形的角之间的关系、边之间的关系(勾股定理)、边角之间的关系(直角三角形中锐角的三角函数关系)正确地解直角三角形.能够利用解直角三角形的方法解决简单的实际问题.第二章安徽五年探究-3-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形安徽五年探究命题解读考纲解读2014—2016年安徽中考命题分析2017年安徽中考命题预测年份考查点题型题号分值考查内容:由近几年的安徽中考可以看出,安徽省的中考每年都有解直角三角形知识的有关题目,都是解答题,而且都是考查解直角三角形的应用,分值为10分或8分,难度每年也都差不多,在“一般”到“较难”之间.考查题型:以解答题为主.中考趋势:预测2017年的中考,也会延续近五年的中考趋势,会考一个“解直角三角形的应用”的解答题.2016解直角三角形的应用解答题19102015解直角三角形的应用解答题1882014从实际问题中建立直角三角形模型,利用锐角三角函数解决实际问题解答题188第二章安徽五年探究-4-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4考点1锐角三角函数1.三角函数的定义及关系如图,在△ABC中,∠C=90°.(1)锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=.(2)锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=.(3)锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=.第二章安徽五年探究-5-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4典例1(2016·贵州安顺)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.【解析】根据勾股定理,可得AC,AB的长,根据正切函数的定义,可得答案.如图,由勾股定理得AC=则AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形，∴.【答案】D第二章安徽五年探究-6-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4【方法指导】解直角三角形时辅助线的常用作法我们谈的三角函数都是放在直角三角形中来研究的,所以如果没有直角三角形,就需要作出辅助线,构造一个适当的直角三角形,从而可以利用三角函数解决问题.第二章安徽五年探究-7-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4【变式训练】(2016·四川乐山)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是(C)A.sinB=B.sinB=C.sinB=D.sinB=【解析】根据锐角三角函数的定义,即可解答.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,sinB=,综上,只有C不正确.第二章安徽五年探究-8-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4考点2特殊角的三角函数值1.特殊角的三角函数值30°45°60°sinαcosαtanα1第二章安徽五年探究-9-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4这些特殊角的三角函数值,不但在本部分知识中经常用到,而且在一些整式计算、分式计算以及二次根式的计算中,也经常出现,所以对这些特殊角的三角函数值要找准规律记准记牢.2.三角函数值的变化规律(1)当0°α90°时,sinα,tanα随着α的增大(或减小)而增大(或减小).(2)当0°α90°时,cosα随着α的增大(或减小)而减小(或增大).3.锐角三角函数之间的关系(1)同角之间的三角函数关系:sin2α+cos2α=;tanα=.(2)互余两角的三角函数之间的关系:sinα=cos(90°-α);cosα=sin(90°-α).1第二章安徽五年探究-10-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4典例2(2016·江苏无锡)sin30°的值为()【解析】根据特殊角的三角函数值,可以求得sin30°的值.sin30°=.【答案】AA.B.C.D.【变式训练】计算:cos45°-tan30°·sin60°.【答案】原式==1-=.第二章安徽五年探究-11-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4考点3直角三角形中的边角关系和解直角三角形1.直角三角形中的边角关系(1)三边的关系:a2+b2=c2.(2)角的关系:∠A+∠B=90°.(3)边角关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=.2.解直角三角形的类型及解法已知条件图形解法已知一直角边和一锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=)第二章安徽五年探究-12-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4已知条件图形解法已知斜边和一锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=)已知两直角边(a,b)c=,由tanA=求∠A,∠B=90°-∠A已知斜边和一直角边(c,a)b=,由sinA=求∠A,∠B=90°-∠A第二章安徽五年探究-13-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4列出的这些解直角三角形的方法,仅是一般方法,在具体的问题中,要根据所给出的条件灵活处理.第二章安徽五年探究-14-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4典例3(2016·湖南怀化)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,AC=6cm,则BC的长度为()A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm【解析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值,设出BC,AB,然后利用勾股定理即可求解.∵sinA=,∴设BC=4x,AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2,∴62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍去),则BC=4x=8cm.【答案】C第二章安徽五年探究-15-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4【变式训练】(2016·内蒙古包头)如图,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sinA=,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)第二章安徽五年探究-16-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4【答案】(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA=,∴∠E=30°,BE=6·tan60°=6,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE=,∠E=30°,∴CE==8,∴BC=BE-CE=6-8.第二章安徽五年探究-17-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4(2)∵∠ABE=90°,AB=6,sinA=,∴设BE=4x,则AE=5x,得AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE=,解得DE=,∴AD=AE-DE=10-,即AD的长是.第二章安徽五年探究-18-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4考点4解直角三角形的简单实际问题几个常用概念概念定义图形仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,视线在水平线下方的角叫做俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h与水平宽度l的比,叫做坡度(或坡比),用字母i表示;坡面与水平面的夹角叫做坡角,所以有i=tanα=第二章安徽五年探究-19-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4概念定义图形方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度;方向角的角度值在0°~90°之间;如图点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°.解直角三角形的应用,要注意把这些实际问题抽象为解直角三角形的问题,如果实际问题中没有直角三角形,要注意根据实际问题的具体情况构造出直角三角形,从而为解决实际问题创造条件.第二章安徽五年探究-20-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4典例4(2016·湖南娄底)芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,≈1.732)第二章安徽五年探究-21-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4【解析】设DH=x米,由三角函数得出CH=+3x,由AH=AD+DH得出方程,解方程求出x,即可得出结果.【答案】设DH=x米,∵∠CDH=60°,∠H=90°,∴CH=DH·tan60°=x,∴BH=BC+CH=2+x,∵∠A=30°,∴AH=+3x,第二章安徽五年探究-22-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描考点1考点2考点3考点4∵AH=AD+DH,∴2+3x=20+x,解得x=10-,∴BH=2+-1≈16.3(米).答:立柱BH的长约为16.3米.第二章安徽五年探究-23-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描1.利用等腰三角形与三角函数相结合解决问题典例1“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷著名的景点.某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°,此时,他们刚好与“香底”D在同一水平线上.然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米,到达B处,测得“香顶”N的仰角为60°.根据以上条件求出“一炷香”的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)第二章安徽五年探究-24-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描【解析】首先过点B作BF⊥DN于点F,过点B作BE⊥AD于点E,可得四边形BEDF是矩形,然后在Rt△ABE中,由三角函数的性质,可求得AE与BE的长,再设BF=x米,利用三角函数的知识,即可求得方程55+x=x+55，继而可求得答案.【答案】过点B作BF⊥DN于点F,过点B作BE⊥AD于点E.∵∠D=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴BE=DF,BF=DE.在Rt△ABE中,AE=AB·cos30°=110×=55,BE=AB·sin30°=×110=55.第二章安徽五年探究-25-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描设BF=x米,则AD=AE+ED=55+x,在Rt△BFN中,NF=BF·tan60°=x.∴DN=DF+NF=55+x.∵∠NAD=45°,∴AD=DN,即55+x=x+55,解得x=55,∴DN=55+x≈150.答:“一炷香”的高度约为150米.第二章安徽五年探究-26-名师考点精讲中考真题再现2.4解直角三角形名师考点精讲备课资料考点扫描【方法指导】利用三角函数求线段的长,一般都要将所求线段放入到