MATLAB数学建模3广告效应

1广告费用和效应{问题3}某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，如表1所示。表1售价(元)预期销售量(桶)售价(元)预期销售量(桶)2.00410002.50380003,00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的赢利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的广告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入4万元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售量将是预期销售量的1.95倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系如表2所示。表2广告费(元)销售增长因子广告费(元)销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80试问：装饰材料公司采取怎样的营销战略使得预期的利润最大？[数学模型]设售货单价为x(元)，预期销售量为y(桶)，广告费为z(元)，销售增长因子为k。投入广告后实际销售量为s(桶)，获得的利润为P(元)。预期销售量y随售价x的增加而减小，可近似用线性关系表示y=a0+a1x(1)其中，a0和a1是待定常数。销售增长因子k随广告费用z先增后减，可用二次方程表示k=b0+b1z+b2z2(2)其中，b0，b1和b2也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。投入广告费之后，实际销售量为s=ky(3)利润是收入减支出，收入是售货单价x乘以销售量s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s。因此利润为P=sx–2s-z=ky(x–2)-z=(b0+b1z+b2z2)(a0+a1x)(x–2)-z(4)这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。令0Px，0Pz即km[a1(xm–2)+(a0+a1xm)]=0(5)(b1+2b2zm)(a0+a1xm)(xm–2)–1=0(6)由(5)得最大利润的单价2010111(2)122maxaaaa(7)由(6)得最大利润的广告费111222012014111[]()2()(2)24mmmazbbbaaxxbaa(8)最大利润的销售增长因子为km=b0+b1zm+b2zm2(9)最大利润的预期销售量为ym=a0+a1xm(10)投入广告费之后，最大利润的实际销售量为sm=kmym(11)最大利润为Pm=kmym(xm–2)-zm(12)[算法]先计算拟合常数，画出拟合曲线。再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。画出利润曲面，标记最大值。[程序]zqy2_3advertisement.m如下。%广告效应clear%清除变量x=2:0.5:6;%售价y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000;%预期销售量经验数据z=(0:7)*1e4;%广告费k=[1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8];%销售增长因子经验数据figure%创建图形窗口subplot(2,1,1)%子图plot(x,y,'rx')%画预期销售量曲线gridon%加网格fs=12;%字体大小title('预期销售量和售价的拟合线','FontSize',fs)%标题xlabel('售价(元)','FontSize',fs)%横坐标ylabel('预期销售量(桶)','FontSize',fs)%纵坐标a=polyfit(x,y,1)%求系数xx=2:0.01:6;%售价yy=polyval(a,xx);%求拟合值holdon%保持图像plot(xx,yy)%画拟合线legend('经验值','拟合线')%图例subplot(2,1,2)%子图plot(z,k,'rx')%画广告费和销售增长因子曲线gridon%加网格title('销售增长因子和广告费的拟合曲线','FontSize',fs)%标题xlabel('广告费(元)','FontSize',fs)%横坐标3ylabel('销售增长因子','FontSize',fs)%纵坐标b=polyfit(z,k,2)%求系数zz=(0:0.01:7)*1e4;%广告费kk=polyval(b,zz);%求拟合值holdon%保持图像plot(zz,kk)%画拟合线legend('经验值','拟合线',2)%图例[X,Z]=meshgrid(xx,zz);%矩阵K=polyval(b,Z);%销售增长因子矩阵Y=polyval(a,X);%预期销售量矩阵P=K.*Y.*(X-2)-Z;%利润[mi,i]=max(P);%在单价一定的情况下求最大值向量和下标向量[m,j]=max(mi)%求最大利润和下标xm=xx(j)%最大利润的单价zm=zz(i(j))%最大利润的广告费km=polyval(b,zm)%求最大利润拟合销售增长因子stem(zm,km,'--')%画杆图text(zm,km,[num2str(zm),',',num2str(km)],'FontSize',fs)%标记结果subplot(2,1,1)%子图ym=polyval(a,xm)%求最大利润拟合预期销售量stem(xm,ym,'--')%画杆图text(xm,ym,[num2str(xm),',',num2str(ym)],'FontSize',fs)%标记结果sm=km*ym;%最大利润的实际销售量text(2,2e4,['最大利润的实际销售量:',num2str(sm)],'FontSize',fs)%标记结果figure%创建图形窗口surf(xx,zz,P)%画利润曲面shadinginterp%染色boxon%加框title('利润与售价和广告费曲面','FontSize',fs)%标题xlabel('售价(元)','FontSize',fs)%横坐标ylabel('广告费(元)','FontSize',fs)%纵坐标zlabel('利润(元)','FontSize',fs)%高坐标text(xm,zm,m,[num2str(xm),',',num2str(zm),',',num2str(m)],'FontSize',fs)%标记结果formatlong%数值的长显示格式xm=1-a(2)/2/a(1)%最大利润的精确的单价(拟合系数按降幂排列)zm=(1./polyval(a,xm)./(xm-2)-b(2))/2/b(1)%最大利润的精确的广告费km=polyval(b,zm)%求最大利润拟合销售增长因子ym=polyval(a,xm)%预期销售量矩阵sm=km*ym%最大利润的实际销售量Pm=km.*ym.*(xm-2)-zm%最大利润formatshort%数值的短显示格式4命令窗口输出的结果为a=1.0e+004*-0.51335.0422b=-0.00000.00001.0188xm=5.911255411255412zm=3.311658444142216e+004km=1.907213596622438ym=2.007777777777779e+004sm=3.829261076774162e+004Pm=1.166555966350045e+005[图示]如M2_3a之上图所示，预期销售量随售价增加几乎线性减小，当利润最大时，售价为5.91元(精确值5.911元)，预期销售量为20084桶(精确值20078桶)，由于广告效应，实际销售量达到38300桶(精确值38293桶)。如M2_3a之下图所示，销售增长因子随广告费先增后减，当利润最大时，广告费约为33100元(精确值33117元)，销售增长因子达到1.907(精确值1.9072)。如M2_3b图所示，当售价比较小的时候，利润随广告费增加而减少；当售价比较大的时候，利润随广告费增加而先增后减，最大利润大约为116655元(精确值116655.6元)。利用矩阵计算的近似结果与利用偏导数计算的精确结果相差甚小。M2_3a图M2_3b图