必修5数列知识与题型归纳(复习用)

1必修5数列知识与题型归纳一、数列的概念数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥例：1已知数列}{na的前n项和322nsn，求数列}{na的通项公式.2.数列{}na的前n项和21nSn．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}na是等差数列吗？（3）你能写出数列{}na的通项公式吗？二、等差数列.等差数列的通项公式：例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于2.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n=3.等差中项例：1．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa,则111213aaa2.设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是4.等差数列的性质：1.在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻两项的；2.在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是数列；3.在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；4.在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则；25.等差数列的前n和的求和公式：(),(2为常数BABnAnSnna是数列)例：1.如果等差数列}{na中，12543aaa，那么721aaa2.设nS是等差数列}{na的前n项和，已知32a，116a，则7S=3.设等差数列}{na的前n项和为nS，若729S,则942aaa=4.在等差数列}{na中，1091aa，则5a=5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项6.已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则7.设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS8．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.则数列｛bn｝的通项bn=9.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d=10.设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na11．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。12.等差数列na的前n项和记为nS，已知50302010aa，①求通项na；②若nS=242，求n13.在等差数列{}na中，（1）已知812148,168,SSad求和；（2）已知658810,5,aSaS求和；(3)已知3151740,aaS求6.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；3（2）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶naa中；②1SnSn奇偶。7.（1）对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,,仍成等差数列；（2）设nS为等差数列na的前n项和,则}{nSn仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3．已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝8.判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：；②中项法：；③通项公式法：；④前n项和公式法：。例：1.已知数列}{na满足21nnaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na的通项为52nan，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列}{na满足0212nnnaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断9.等差数列前n项和的最值（1）10a，0d时，nS有最值；10a，0d时，nS有最值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；4(3)若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。2．设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值3.已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列}{na从哪一项开始小于0？（2）求数列}{na前n项和的最大值，并求出对应n的值．4.已知}{na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列}{na前n项和的最大值．5.在等差数列}{na中，125a，179SS，求nS的最大值．三、等比数列1.等比数列定义：52.递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1．在等比数列na中,2,41qa，则na2．在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a3.在等比数列na中，22a，545a，则8a=4.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa3.等比中项：例：1.23和23的等比中项为2.设na是公差不为0的等差数列，12a且136,,aaa成等比数列，则na的前n项和nS=4.等比数列的基本性质1.（1），则若qpnm),,,(Nqpnm其中（2）)(2Nnaaaaaqmnmnnmnmn，（3）na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成数列.（4）na既是等差数列又是等比数列na是各项不为零的数列.例：1．在等比数列na中,1a和10a是方程22510xx的两个根,则47aa2.在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=3.在等比数列na中，143613233nnaaaaaa，，①求na②若nnnTaaaT求,lglglg214.等比数列{}na的各项为正数，且5647313231018,logloglogaaaaaaa则5.已知等比数列{}na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n时，2123221logloglognaaa65.等比数列的前n项和：，例：1.已知等比数列}{na的首相51a，公比2q，则其前n项和nS2.设等比数列}{na的前n项和为nS，已,62a30631aa，求na和nS3．设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于4．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；5．设等比数列}{na的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为.6.等比数列的前n项和的性质若数列na是等比数列，nS是其前n项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成数列.例：1.设等比数列{na}的前n项和为nS，若63SS=3，则69SS=2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为7.等比数列的判定法（1）定义法：（2）中项法：（3）通项公式法：（4）前n项和法：例：1.已知数列}{na的通项为nna2，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na满足)0(221nnnnaaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和1n22ns，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断7四、求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{na满足：26,7753aaa，则na=；2.已知数列}{na满足)1(1,211naaann，则na=；3.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn），则na=；4.已知数列}{na满足211,211nnaaa，则na=；5.设数列}{na满足01a且111111nnaa，求}{na的通项公式；6.已知数列{}na满足112,12nnnaaaa，求数列{}na的通项公式。7.等比数列}{na的各项均为正数，且13221aa，62239aaa，求数列}{na的通项公式8.已知数列}{na满足)2(3,211naaann，求数列}{na的通项公式；9.已知数列}{na满足2122142nnnaaaaa且，，求数列na的通项公式；10.已知数列}{na满足，21a且1152(5)nnnnaa，求数列na的通项公式；11.已知数列}{na满足，21a且115223(522)nnnnaa，求数列na的通项公式；812.已知数列na满足111,41(1).2nnaaan求数列na的通项公式。（2）累加法例：1.已知数列{}na满足141,21211naaann，求数列{}na的通项公式。2.已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式3.已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。（3）累乘法适用于：1()nnafna例：1.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。2.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。（4）待定系数法（构造法）适用于1()nnaqafn例：1.已知数列{}na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2.在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na________9（以下3—8题理科生做，文科可以不做）3.已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。提示：设1152(5)nnnnaxax4.已知数列{}na满足1112431nnnaaa，，求数列na的通项公式。5.已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。提示：设1123(2)nnnnaxyaxy6.已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na7.已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。提示：设221(1)(1)2()nnaxnynzaxnynz递推公式为nn