线性代数第二章矩阵试题及答案

1第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由mn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mn型矩阵。例如2-101111102254-29333-18是一个45矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵AT=A-1（2）A是正交矩阵2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B(A-B),运算法则为对应元素相加(减).（2）数乘:一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0c=0或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.2即：nmnssmCBA矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.即ABBA③矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C.(无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(cA)B=c(AB).③结合律(AB)C=A(BC)（2）n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质:|AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幂Ak即k个A的连乘积.规定A0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①AkAh=Ak+h.②(Ak)h=Akh.但是一般地(AB)k和AkBk不一定相等!n阶矩阵的多项式：设f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(AB)2=A22AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立:BACBA1)(等等.前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵，A的列向量组为1,2,…,n，B的列向量组为1,2,…,s，AB的列向量组为1,2,…,s，则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=Ai,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,As).②=(b1,b2,…,bn)T,则A=b11+b22+…+bnn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,bni)T,则i=AI=b1i1+b2i2+…+bnin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量i的各分量。类似地,乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.利用以上规律容易得到下面几个简单推论:①用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此3矩阵的各行向量，用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。44332211432121aaaaAmnmm44332211214321aaaaaaaaAmm②数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。③两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。④求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。5、矩阵的行列式A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为A的行列式，表示为|A|。若A的行列式|A|0，称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵|AB|=|A||B||cA|=Cn|A|.6、矩阵的转置把一个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作AT(或A)。有以下规律：①(AT)T=A.②(A+B)T=AT+BT.③(cA)T=cAT.④(AB)T=BTAT.⑤|AT|=|A|7、矩阵的等价定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.命题：两个m*n矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q，使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1)矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I)AX=B.(II)XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,Xs),则有AXi=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则,它们都有唯一解，从而AX=B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A，可同时求解，即得(I)的解法：将A和B并列作矩阵(A|B)，对它作初等行变换，使得A变为单位矩阵,此时B变为解X(A|B)(E|X)。(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT，再用解(I)的方法求出XT，转置得X.：(AT|BT)(E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2)可逆矩阵的定义与意义定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=E，BA=E，则称A为可逆矩阵，此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1。如果A可逆，则A在乘法中有消去律：4AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C.(右消去律)如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)：AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(I)AX=B的解X=A-1B(II)XA=B的解X=BA-1.这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3)矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆|A|0.证明充分性：对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0.(并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E.事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:如果A可逆,则①A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.②AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.③当c0时,cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1.④对任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)⑤如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)⑥初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c))-1=E(i(c-1)),E(i,j(c))-1=E(i,j(-c)).(4)逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时,A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1:初等行变换：1||AEEA初等列变换：1AEEA这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵A11A21…An1A*=A12A22…An2=(Aij)T.A1nA2n…Amn请注意，规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆，但是在A可逆时,A*和A-1有密切关系。基本公式:①AA*=A*A=|A|E.②A-1=A*/|A|,即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵ab*d-bcd=-ca,因此当ad-bc0时,11abdbcdcaadbc5二例题一、填空题1．设1,2,3,,均为4维向量,A=[1,2,3,],B=[1,2,3,],且|A|=2,|B|=3,则|A－3B|=______.解：3222|3|321BA=38321=321(856|)|3|(|8)3321BA2．设12nAaaa，则TAA，TAA．解：TAA222212121,nnnaaaaaaaaaTAA22122221