线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章习题与答案习题A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)TTTααα的线性组合12335.ααα解12341161293535331223ααα1251613109491512561037.2.从以下方程中求向量1233()2()5()αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TTTααα解由方程得1233322550αααααα，1232104651112632532515118310124αααα故1234α,即(1,2,3,4)Tα.3.求证:向量组12isα,α,,α,α中的任一向量iα可以由这个向量组线性表出.证120010(1,2,,)iisisααααα4.证明:包含零向量的向量组线性相关.证设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αiis,则有12110α0αα00α0α0,0iiskk而0,0,,0,,0,,0k不全为0,故向量组线性相关.5.设有m个向量12α,α,,αm,证明:若αα()ijij,则向量组12α,α,,αm线性相关.证显然有1210α0αα0α()α0α0,0iijmkkk,而0,,0,,0,,0,,0,,0kk不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1)(1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,);(2)(2,0),(0,-1);(3)(-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4)(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解(1)设有三个数123,,kkk,使123(1,1,0)(0,1,1,)(3,0,0,)=(0,0,0)kkk则有方程组131223000kkkkk,因为系数行列式10311030010D.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关.(2)设有两个数12,kk使12(2,0)(0,-1)=(0,0)kk则有方程组12200kk,由此解得120kk,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关.(3)设有四个数1234,,,kkkk,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)kkkk,则有方程组1234123412341234426405230235063960kkkkkkkkkkkkkkkk,其系数行列式42645231021356396D,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4)设有四个数1234,,,kkkk,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)kkkk则有方程组14243412341234203040234110547120kkkkkkkkkkkkkk由前三个方程得1424342,3,4kkkkkk,代入第五个方程得4140k,即40k,从而1230kkk,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα也线性无关.证设有三个数123,,kkk,使112223331αααααα0kkk,则131122233ααα0kkkkkk,因123α,α,α线性无关,故131223000kkkkkk,因系数行列式10111020011D,所以只有1230kkk,由此知122331αα,αα,αα线性无关.8.设12α,α,,αn线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααnnn是线性相关,还是线性无关?并给出证明.解设有n个数12,,,,nkkk使112223111αααααααα0nnnnnkkkk,则得方程组1122310000nnnkkkkkkkk其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011nnD可见,当n为奇数时,20nD,方程组仅有零解,向量组线性无关,当n为偶数时,0nD,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)iiiinaaain,证明:向量组12α,α,,αn线性相关的充分必要条件是det()0ija.证必要性:设12α,α,,αn线性相关,则存在不全为0的n个数12,,,,nkkk使1122ααα0nnkkk,即有方程组11121211212222112200*0nnnnnnnnnakakakakakakakakak该方程组有非零解,故系数行列式0nD,即det()0ija,充分性:对于方程组(*)当det()0ija时,系数行列式0nD,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,nkkk使1122ααα0nnkkk成立,故12α,α,,αn线性相关.10.设12α,α,,αn是一组n维向量.已知n维标准单位向量组12e,e,,en能由它们线性表出,证明:12α,α,,αn线性无关.证设12α(,,,)(1,2,,)iiiinaaain,则有1122αeee,iiiinnaaa可见12α,α,,αn也能由12e,e,,en线性表出,从而两个向量组等价.因为12e,e,,en线性无关,所以12α,α,,αn也线性无关.11.设12α,α,,αn是一组n维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表出.证必要性:设12α,α,,αn线性无关,β为任一n维向量,则12α,α,,αn,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn线性表出.充分性:设任一n维向量β都可由12α,α,,αn线性表出.因此12α,α,,αn与12e,e,,en等价,从而12α,α,,αn线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);TTT(2)123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);TTT(3)1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);TTTT解(1)19221004A1102448192082001900320192010000000102010000000,向量组的秩为2,12α,α为一个极大线性无关组.(2)100A120003100020003向量组的秩为3,123α,α,α为一个极大线性无关组.(3)14122131A154136701412095309530181061412095300000000向量组的秩为2,12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0).解所求方阵可写成1030011000A001000001000000,则1030001300A001000001000000显然(A)4R.14.已知12α,α,,αs的秩为r,证明:12α,α,,αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设12α,α,,α,riii为12α,α,,αs中任意r个线性无关的向量,因为向量组的秩为r,故1212α,α,,α,α,(,,)riiiiriiii线性相关.可见12α,α,,αs中的每个向量都可由12α,α,,α,riii线性表出.因此,12α,α,,α,riii是12α,α,,αs的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100;(2)1234110215610;(3)023103430471;(4)1725314353759413254759413420253248.解(1)00101010013100010001rr,秩为3.(2)12341102156102131123403360336rrrr32123403360000rr,秩为2.(3)02310343047112011203430471rr213134011200130039rrrr323011200130000rr,秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248213143317253143201330153015rrrrrr433217253143201310020000rrrr1310022013172531430000rr2131217100200110253190000rrrr23100202531900110000rr,秩为3.16.证明:两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即(AB)(A)(B)RRR.证设1A(α,,α),(A),nRr1α,,αr为一个极大线性无关组,1B(β,,β),(B),nRs1β,,βs为一个极大线性无关组,1AB(r,,r)n.因为1r,,rn可由1α,,αn,1β,,βn线性表出,从而也可由1α,,αr,1β,,βs线性表出.故1AB(r,,r)nRR11α,,α,β,,βrsRrs(A)(B)RR.17.设A与B可乘,且AB0,证明:(A)(B)ARR的列数.证法一设A为mn矩阵,B为nl矩阵由AB0,有11111111nlmmnnnlmnnlaabbaabb0000ml比较等式两边对应元素,有111111111100nnmmnnabababab,11121211220,0nnmmnnabababab,11111100lnnlmlmnnlabababab.可见B的列向量组为上述l个齐次线性方程组的解向量,因此有(B)(A)RnR,移项得(A)(B)