椭圆知识点及经典例题

1椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常)2(2121FFaPFPF,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；3.椭圆的参数方程)(sincos为参数byax注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。2（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB③线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。②因为)0(ca，所以e的取值范围是)10(e。e越接近1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为ayx22。3注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；知识点四：椭圆第二定义一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆奎屯王新敞新疆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率奎屯王新敞新疆左准线caxl21:右准线caxl22:知识点五：椭圆的焦半径公式：（左焦半径）01exar（右焦半径）02exar其中e是离心率奎屯王新敞新疆焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：0201eyaMFeyaMF（其中21,FF分别是椭圆的下上焦点）奎屯王新敞新疆知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线bkxyl:与圆锥曲线相交与A、B两点，),(),,2211yxByxA（则弦长221221)()(yyxxAB221221)()(kxkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk4知识点七：椭圆12222byax与12222bxay)0(ba的区别和联系标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0,(1cF，)0,(2cF),0(1cF，),0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,(a，),0(b),0(a，)0,(b轴长长轴长=a2，短轴长=b2离心率)10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意：椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(ba和)10(eace，222cba；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。5规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义椭圆标准方程中，cba,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程均不为零）CBACByAx,,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。67．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：①若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；②若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；③若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。经典例题：一、椭圆的定义例1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线例2、椭圆221169xy左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF2的周长为______二、椭圆的标准方程例3、已知方程22111xykk表示椭圆，则k的取值范围是()A-1k1Bk0Ck≥0Dk1或k-1例4、已知方程12mx+my22=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)7例6、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。例7、已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．例8、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．三、离心率例9、椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________8例10、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为______例11、椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．四、最值问题例12、椭圆2214xy两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____例14、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值和最小值。六、直线和椭圆例16、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：22142xy，试问当m为何值时：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.9例17、已知斜率为1的直线l经过椭圆2214xy的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.例18、已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例19、已知椭圆C：2214xy，直线l:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA⊥OB10例20、已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk，求线段PQ中点M的轨迹方程．