级数学分析1期末复习大字

2009级数学分析（1）期末复习第一部各章内容基本要求第一章实数集与函数1.熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。2.熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。3.掌握邻域、空心邻域的概念。4.掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet函数、符号函数及其表示。5.掌握基本初等函数与初等函数的概念。6.掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。例1.分别求121|1,2,3,...,[0,1]SnSn的上、下确界，并证明之。例2.求集合|0,1Sxx是无理数的上、下确界，并证明之。例3.对任一实数集S，证明supS=sup{S{supS}}。例4.证明，任何函数f都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。第二章数列极限1.掌握数列极限的-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。2.掌握数列收敛性与有界性的关系。3.掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。4.掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy收敛准则，子列收敛判别法。5.掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的以0为极限的收敛数列1ln1,,,,,knnnnnqnnaa其中0,||1,||1,qakN，懂得适时变形，并能熟练运用之。例5.用-N语言证明22011lim02010nnn。例6.证明，若lim0nnaa，则存在N0,使得对任意nN有,22naaa。例7.证明，若infSS,则存在数列xnS，使得（1）xn单调递减；（2）liminfnnxS。例8.证明，若数列{xn}从某项开始恒满足|xn-xn-1|1/n2,则数列{xn}收敛【cauchy准则】。例9.求222111lim()12nnnnn。【两边夹定理】例10.若1(2,2)x,12,1,2,3,...nnxxn.证明:数列}{nx收敛，并求其极限。【单调有界收敛定理】第三章函数极限1.掌握函数极限的-定义、-M定义及其几何刻画，明白极限是一种趋势，它与函数在指定点的函数值无关。2.掌握函数左、右极限的定义及其与函数极限的关系，会用它判别分段函数在分段点处的极限存在性。3.掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。4.掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy收敛准则以及归结原则，掌握单调有界函数的左右极限存在性准则。5.掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），理解无穷小量与有界量乘积还是无穷小量；明白无穷大量与无界量的联系与区别；掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。6.掌握两个重要极限及其变形，熟记当x→0时如下几个常用等价无穷小量：sinx~x,ex–1~x,ln(1+x)~x,1–cosx~x2/2,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x.7.掌握极限四则运算性质、复合函数极限法则。8.会用极限四则运算性质、复合函数极限法则、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限（00,,0,,1,00）。9.理解渐近线的概念及其含义，会求三种不同的渐近线。例11.用-语言证明22lim13xx。例12.已知21,0sinln(1)()0,0tanarcsin,0.2(1cos)xexxxfxxxxxx求0lim()xfx。例13.求22221cossin(ln)lim.20112012xxxxxxxx例14.求21/0limcos.xxx例15.求321lim.12xxx例16.求121lim.11xxx例17.求下列曲线的渐近线：（1）321xyxx;(2)11.yxx第四章函数的连续性1.掌握连续函数的概念及其四则运算、复合运算性质；理解初等函数的连续性；理解左、右连续与函数连续的关系，会用它判别分段函数在分段点处的连续性。2.掌握间断点的概念及其分类，会判断一些特殊函数或分段函数的间断点类别。3.掌握连续函数的局部有界性、局部保号性。4.掌握函数在区间上一致连续的概念，会证明函数的一致连续性和非一致连续性。5.理解有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。例18.分别求函数||/yxx与Dirichlet函数D(x)的间断点及其类别.例19.求函数11sinyxx的间断点，并指出其类别。例20.求a，b的值，使得函数sin,0ln(1)()0,0,0.2(1cos)xaxxxxfxxebxaxx为(-2,2)上的连续函数。例21.证明函数()fxx当1时在[0,+)上不一致连续；当01时在[0,+)上一致连续。例22.设函数f,g都在区间I（有界或无界区间）一致连续且有界，则函数fg在区间I一致连续。例23.设函数f,g都在有界闭区间[a,b]连续，并且满足([,])([,])fabgab，则对任意点122011,,...,[,]xxxab，必存在至少一点[,]ab使得20111()2011().jjfxg例24.设函数f在有界闭区间[a,b]连续，并且满足([,])[,]fabab，则必存在至少一点[,]ab使得().f例25.设函数f在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，求证：f不是连续函数。第五章导数和微分1.掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。2.掌握函数导数的四则运算、复合运算、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。3.掌握含参量函数的一阶、二阶导数求法。4.掌握函数极值点、稳定点的定义及其关系；熟悉导函数的介值定理（Darboux定理）。5.理解高阶导数与高阶微分的概念；掌握函数乘积的高阶导数计算公式（莱布尼茨公式）。6.理解导数的几何意义与物理意义，会利用导数求曲线的切线及法线方程；会求用参数表示的函数的一阶及二阶导数；会用微分进行简单的近似计算。例26.求下列函数的导函数与微分：（1）2222()yxaxax；（2）22ln()yxax；（3）lntan2xy；（4）arcsin(sincos)yxx；（5）22arctan1xyx；（6）22xxye；（7）(2)(3)ln1xxyx；（8）2(1)nyxx；（9）(0)xyxx；（10）22222ln(0)22xayaxxaxa。例27.求,,ba使sin,0,()ln(1),0.xxfxaxbx于0x可导.例28.设函数1cos,0()0,0mxxfxxx（m为正整数）．试问：（1）m等于何值时，()fx在0x连续；（2）m等于何值时，()fx在0x可导；（3）m等于何值时，'()fx在0x连续．例29.求由参数方程(lntancos)2sintxatyat决定的函数的导数.例30.求由下列参数方程决定的函数的二阶导数：（1）(sin)(1cos)xattyat；（2）'()'()()xftytftft．例31.求下列函数的高阶导数：（1）2lnyxx，求''y；（2）sin(2)yx，求'''y；（3）22,xyxe求()ny。例32.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程：（1）2,(2,1)4xyP；（2）cos,(0,1)yxP；（3）2222cossinttxetyet，t=0点P(1,0)．第六章微分中值定理及其应用1.掌握洛尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论及其含义与相互关系，能够灵活使用其解决一些存在性问题，证明一些不等式；理解这些定理条件的重要性和非必要性。2.掌握导数极限定理，并会用它判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。3.熟练掌握函数单调性的导数判别法，会据此计算函数的单调区间。4.熟练掌握函数极值的一、二阶导数判别法，能够熟练使用其解决一些应用性极值与最值问题；理解函数极值的高阶导数判别法。5.熟练掌握求不定式极限的洛必达法则，能够用其解决不定式极限问题（00,,0,,1,00）。6.掌握泰勒多项式的概念，掌握泰勒定理（泰勒公式），理解泰勒定理的思想，会求指定函数在指定点的泰勒展式，并写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项，会用泰勒多项式逼近函数。例33.证明：方程20nxpxqxr（3为正整数，p,q,r，为实数）当为偶数时至多有4个实根；当为奇数时至多有3个实根。例34.求证：n次多项式最多有n个实根。例35.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）1,0;xexx（2）arcsin,(0,1).xxx例36.设函数()fx二阶可导且()0fx,利用Lagrange中值定理证明:121222fxfxxxf.例37.应用函数的单调性证明下列不等式：（1）2ln(1),0;2xxxxx（2）123,1.xxx例38.确定下列函数的单调区间：（1）22ln;yxx（2）21;xyx（3）22sin;yxx例39.求下列函数的极值：（1）ln(1);yxx（2）1;yxx（3）331;yxx（4）21arccotln(1).2yxx例40.求下列函数在指定区间上的最大值与最小值（1）3229121,[0,3];yxxx（2）232,[-10,10];yxx例41.给定长为的线段，试把它分成两段，使以这两段为边所围成的矩形面积为最大.例42.求下列待定型的极限：（1）0ln(1)lim;cos1xxxx（2）0tanlim;sinxxxxx（3）011lim;1xxxe（4）0lncoslim;lncosxaxbx（5）111lim;ln1xxx（6）lim()tan;2xxx（7）lim(,0);baxxxabe（8）lnlim(b,c0).cbxxx例43.求下列函数的在指定点的指定阶数的泰勒展式，分别写出其皮亚诺型余项和拉格朗日型余项。(1)lnx在x=2处，n阶展式。(2)在x=1处，3阶展式。(3)2/2xe在x=0处，n阶展式。第二部各类问题基本方法一、证明问题1.确界问题求法与证明：（1）按照定义，证是上（下）界，是最小（大）上（下）界；（2）最大值（若存在）是上确界，最小值（若存在）是下确界。2.数列收敛性、函数极限存在性证明（1）用定义（-N语言，-语言）；（2）单调有界收敛准则，证单调上升有上界或单调下降有下界；（3）两边夹定理，证介于两个具有相同极限的数列或函数之间；（4）Cauchy收敛准则，证两项之差随下标增大而趋于0。3.连续性、一致连续性、非一致连续性证明（1）用定义；（2）用左右连续性（适合于分段函数在分段点处）；（3）用连续函数四则运算、复合运算性质；（4）用有界闭区间上连续函数的一致连续性；（5）分割区间，函数f在区间1kjjII上一致连续当且仅当f在每个区间,1,2,...,jIjk上一致连续性。4.可导性证明（1）用定义；（