机器人运动学

2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学运动学研究的问题：手在空间的运动与各个关节的运动之间的关系。正问题：已知关节运动，求手的运动。逆问题：已知手的运动，求关节运动。2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学数学模型：手的运动→位姿变化→位姿矩阵M关节运动→参数变化→关节变量qi，i=1，…，n运动学方程：M=f(qi)，i=1，…，n正问题：已知qi，求M。逆问题：已知M，求qi。2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1机器人的位姿描述2.2齐次变换及运算2.3机器人运动学方程2.4机器人微分运动习题2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.1机器人位姿的表示2.1.2机器人的坐标系2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.1机器人位姿的表示机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有时也会用到其它各个活动杆件在空间的位置和姿态。2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.1机器人位姿的表示位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。zyxppppzyxｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.1机器人位姿的表示姿态可以用坐标系三个坐标轴两两夹角的余弦值组成3×3的姿态矩阵来描述。ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏｚhｙhｘhｏh),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(hhhhhhhhhzzyzxzzyyyxyzxyxxxR2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.1机器人位姿的表示例：右图所示两坐标系的姿态为：ｚ0ｙ0ｘ0ｏ0ｚ1ｙ1ｘ1ｏ110000101001R2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.2机器人的坐标系手部坐标系——参考机器人手部的坐标系，也称机器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐标系中的位置和姿态。机座坐标系——参考机器人机座的坐标系，它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。杆件坐标系——参考机器人指定杆件的坐标系，它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系，随杆件的运动而运动。绝对坐标系——参考工作现场地面的坐标系，它是机器人所有构件的公共参考坐标系。2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.1.2机器人的坐标系手部坐标系{h}机座坐标系{0}杆件坐标系{i}i=1，…，n绝对坐标系{B}2.1机器人的位姿描述2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.2.1直角坐标变换2.2.2齐次坐标变换2.2齐次变换及运算2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.2.1直角坐标变换ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj坐标之间的变换关系：平移变换旋转变换2.2齐次变换及运算2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学1、平移变换设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用矢量表示坐标系{i}和坐标系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可以看成是由坐标系{i}沿矢量平移变换而来的，所以称矢量为平移变换矩阵，它是一个3×1的矩阵，即：ijpzyxijppppｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjijpijpijp2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学1、平移变换若空间有一点在坐标系{i}和坐标系{j}中分别用矢量和表示，则它们之间有以下关系：称上式为坐标平移方程。irjrjijirprｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjijpirjr2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但它俩的姿态不同。则坐标系{j}就可以看成是由坐标系{i}旋转变换而来的，旋转变换矩阵比较复杂，最简单的是绕一根坐标轴的旋转变换。下面以此来对旋转变换矩阵作以说明。ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏj2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}绕轴旋转了一个θ角。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角——变换矩阵推导若空间有一点p，则其在坐标系{i}和坐标系{j}中的坐标分量之间就有以下关系：ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθjijjijjizzyxyyxxcossinsincos2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学jjjijjjijjjizyxzzyxyzyxx1000cossin0sincos2、旋转变换①绕z轴旋转θ角若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角将上式写成矩阵的形式，则有：jjjiiizyxzyx1000cossin0sincos2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角再将其写成矢量形式，则有：称上式为坐标旋转方程，式中：——p点在坐标系{i}中的坐标列阵（矢量）；——p点在坐标系{j}中的坐标列阵（矢量）；——坐标系{j}变换到坐标系{i}的旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵。jzijirRr,irjr,zijR2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角——旋转变换矩阵，也称为方向余弦矩阵，是一个3×3的矩阵，其中的每个元素就是坐标系{i}和坐标系{j}相应坐标轴夹角的余弦值，它表明坐标系{j}相对于坐标系{i}的姿态（方向）。,zijR2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换①绕z轴旋转θ角旋转变换矩阵：2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换1000cossin0sincos,zijRｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθ2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换②绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：cossin0sincos0001,xijRｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：cos0sin010sin0cos,yijRｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换④旋转变换矩阵的逆矩阵旋转变换矩阵的逆矩阵既可以用线性代数的方法求出，也可以用逆向的坐标变换求出。以绕z轴旋转θ角为例，其逆向变换即为绕z轴旋转-θ角，则其旋转变换矩阵就为：2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换1000cossin0sincos,zijR1000cossin0sincos,zijR2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2、旋转变换④旋转变换矩阵的逆矩阵比较以下两式：结论：1000cossin0sincos,zjiR1000cossin0sincos,zijRTzijzijRR)()(,1,2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学3、联合变换设坐标系{i}和坐标系{j}之间存在先平移变换，后旋转变换，则空间任一点在坐标系{i}和坐标系{j}中的矢量之间就有以下关系：称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。jijijirRpr2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学例：已知坐标系{B}的初始位置与坐标系{A}重合，首先坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，再绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为：，求该点在坐标系{A}中的矢量？kjirB2952.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：则：0612ABp1000866.05.005.0866.0100030cos30sin030sin30cosABR2794.13830.112951000866.05.005.0866.00612BABABArRpr2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学3、联合变换若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平移变换，则上述关系是应如何变化？问题：当坐标系之间存在多次变换时，直角坐标变换就无法用同一规整的表达式表示了！)(jijijirpRr2.2齐次变换及运算2.2.1直角坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学2.2.2齐次坐标变换kzzkyykxx,,1、齐次坐标的定义空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用表示，若有四个不同时为零的数与三个直角坐标分量之间存在以下关系：),,(zyx),,,(kzyx2.2齐次变换及运算),,,(kzyx则称是空间该点的齐次坐标。2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2章机器人运动学1、齐次坐标的定义齐次坐标的几点说明：Ⅰ.空间中的任一点都可用齐次坐标表示；Ⅱ.空间中的任一点的直角坐标是单值的，但其对应的齐次坐标是多值的；Ⅲ.k是比例坐标，它表示直角坐标值与对应的齐次坐标值之间的比例关系；Ⅳ.若比例坐标k=1，则空间任一点(x,y,z)的齐次坐标为(x,y,z,1)，以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。2.2齐次变换及运算2.2.2齐次坐标变换2020年4月16日6时56分机器人及其控制原理第2