第一讲-坐标系-章末复习方案-课件(人教A选修4-4)

(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1]舰A在舰B正东，距离6km，舰C在舰B的北偏西30°，距离4km，它们准备围捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4s后，B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1km/s.空气阻力不计，求A炮击的方位角．[解]如图，以BA为x轴，BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．设动物所在位置P(x，y)，P在BC中垂线上．∵kBC＝23－5＋3＝－3，BC中点M(－4，3)，∴BC的中垂线方程为y－3＝33(x＋4)．即y＝33(x＋7)．①∵|PB|－|PA|＝4＜|AB|＝6，∴P在双曲线x24－y25＝1②的右支上．由①②得P(8,53)，设∠xAP＝α，则tanα＝3，∴α＝60°.∴炮弹发射的方位角为北偏东30°.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2]在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x′＝2x，y′＝2y后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解]将x′＝2x，y′＝2y，代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得(x－52)2＋(y＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆.(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．[例3]△ABC底边BC＝10，∠A＝12∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解]如图：令A(ρ，θ)，△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝θ2，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得ρsinπ－3θ2＝10sinθ2，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2tanθ＝yxx≠0(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4]把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acosθ(a＞0)；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.[解](1)ρ＝2acosθ，两边同时乘以ρ得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为(x－92)2＋(y－92)2＝812，是以(92，92)为圆心，以922为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线.(1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标．(2)球坐标：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐标．[例5]如图，在长方体OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′，P的柱坐标．[解]C点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA.B′点的ρ为|OB|＝|OA|2＋|AB|2＝32＋32＝32；θ＝∠BOA，而tan∠BOA＝|AB||OA|＝1.所以∠BOA＝π4.P点的ρ、θ分别为OE、∠AOE，|OE|＝12|OB|＝322，∠AOE＝∠AOB.所以C点的柱坐标为(3，π2，0)；B′点的柱坐标为(32，π4，3)；P点的柱坐标为(322，π4，3)[例6]如图，长方体OABC—D′A′B′C′中OA＝OC＝a，BB′＝2OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点；OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．[解]r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，tan∠OB′B＝|OB||BB′|＝1，∴∠OB′B＝π4，θ＝∠AOB＝π4.∴点P的球坐标为(a，π4，π4)．点击进入跟踪演练点击进入阶段质量检测