ch17-3-方向导数与梯度

1§3方向导数与梯度在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数.2※方向导数的概念定义1设函数0000(,,)(,,)fxyzPxyz在点的某邻域000()()limlimlffPfP导数,记作00000,()(,,).llPffPfxyzl或300()RUPlP内有定义，为从点出发的射线.任f0Pl存在,则称此极限为函数在点沿方向的方向00(,,)(),||PxyzlUPPP记，若极限给3不难看出:若f在点0P存在对x的偏导数，则f在点0P沿x轴正方向的方向导数恰为00()()();xlfPfPlOx00()()();xlfPfPlOx对于yzff与也有相应的结论．当的方向为x轴的负方向时，则有l4xyzO图17–5xyz0PPlcos,cos,cos其中证设(,,)Pxyz为有(参见图17–5)0Pl在点沿任一方向的方向导数都存在,且0000()()cos()cos()cos,(1)xyzlfPfPfPfP为的方向余弦．l上任一点，于是l定理17.6若0000(,,)(,,)fxyzPxyz在点可微，则f※方向导数与偏导数之间的一般关系5上式左、右两边皆除以,并根据(2)式可得000cos,cos,cos.xxxyyyzzz(2)f0P由假设在点可微，则有000()()()()xyfPfPfPxfPy0()().zfPzo60()lim0,o因为所以上式左边的极限存在:000()()()limlfPfPfP000()cos()cos()cos.xyzfPfPfP000()()cos()cos()cos.xyzofPfPfP000()()()()xyfPfPxyfPfP0()()zzofP7例1230(,,),(1,1,1)fxyzxyzfP设求在点处1(3,1,2).P沿着指向点方向的方向导数解0.fP易见在点可微故由000()1,()2,()3,xyzfPfPfP01(2,2,1)lPP以及的方向余弦(,)fxy对于二元函数来说,相应于(1)的结果为,2Rl其中是中向量的方向角．000000(,)(,)cos(,)cos,(2)xylfxyfxyfxy822222cos,32(2)122222cos,32(2)122211cos,32(2)1按公式(1)可求得02211()123.3333lfP9例2设函数21,0,,(,)0,yxxfxy当时其余部分.此函数示于图16–15,已知它在原点不连续(当然也就不可微)．但在始于原点的任何射线上,都存在包含原点的充分小的一段，在这一段上f的函数值恒为零.于是由方向导数定义,在原点处沿任何方向都有(0,0)0.lfl10说明(i)函数在一点可微是方向导数存在的充分条件而不是必要条件；(ii)函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要条件,当然也不是充分条件(对此读者应能举出反例)．※梯度的概念定义20000(,,)(,,)fxyzPxyz若在点存在对所有自变量的偏导数,则称向量000((),(),())xyzfPfPfP为函数0fP在点的梯度,记作110000grad()((),(),()).xyzfPfPfPfP2220000|grad()|.()()()xyzfPfPfPfP0(cos,cos,cos),l则方向导数计算公式(1)又可写成0000()grad()|grad()|cos.lfPfPlfP这里是梯度向量0grad()fP与0l的夹角．因此，当0时，0()lfP取得最大值0|grad()|fP.这就0grad()fP的长度(或模)为在定理17.6的条件下,若记方向上的单位向量为l12是说，当0fP在点可微时,0fP在点的梯度方向是f的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模;而当l与梯度向量反方向()时，方向导数取得最小值0|grad()|fP．例3230(,,),(2,1,1)fxyzxyyzfP设试求在点处的梯度及它的模.解000()1,()3,()3,xyzfPfPfP易得所以0grad()(1,3,3),fP2220|grad()|1(3)(3)19.fP