5导数的单调性讲义

函数的单调性与导数讲义1．函数的单调性与其导函数的正负间的关系设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，①若f′(x)0则f(x)在（a,b）内单调递增；②若f′(x)0则f(x)在（a,b）内单调递减；③若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数。2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，说明函数在这个范围内，这时，函数的图象就比较“”；反之，函数的图象就比较“”．3．利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)由f′(x)0(或f′(x)0)，解出相应的x的取值范围．当f′(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出单调区间．(2)在某个区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)0.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零．利用导数求函数的单调区间需注意的问题(1)讨论函数的单调区间时，先要确定函数的定义域；(2)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接．【例1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝x3－x；⑵f(x)＝x2－lnx；[思路探索]先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f′(x)0与f′(x)0，并与定义域求交集从而得相应的单调区间．则x∈(0，＋∞)，令y′0，即ex－10，则x∈(－∞，0)，∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．利用导数判断函数的单调性【例2】证明：函数f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数．∵f(x)＝lnxx，∴又例3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()题型三已知函数单调性求参数的取值范围【例4】已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．根，∴Δ＝02－4×1×3a0，∴a0.∴a的取值范围为(－∞，0)．题型四用单调性与导数关系证不等式【例5】(12分)当x＞0时，证明不等式lnx＞x－12x2.则f′(x)＝∴y′0，即y在(－∞，0)内是减函数．函数的单调性与导数讲义变式【变式1】⑴求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．解函数的定义域为(0，＋∞)，f＝(2)f(x)＝2x(ex－1)－x2；⑷f(x)＝exx－2；⑸f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x2π).【变式2】试证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减．证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx0，∴xcosx－sinx0，∴f′(x)0，∴f(x)在π2，π上是减函数．变式3f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()【变式4】(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1，2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．解(1)∵函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－1x2是不等式3x2＋2bx＋c0的解集．【变式5】当0＜x＜π2时，求证：x－sinx＜16x3.证明设g(x)＝x－sinx－16x3，x∈0，π2，g′(x)＝1－cosx－12x2＝2sin2x2－x22.0，∴x－inx＜16x3.【6】已知a0，且a≠1，证明函数y＝ax－xlna在(－∞，0)内是减函数．∵x∈0，π2，∴0＜sinx＜x，