椭圆双曲线定点弦的一组有趣性质

1椭圆双曲线定点弦的一组有趣性质湖南省冷水江市第六中学（417500）邓赞武在对椭圆、双曲线的定点弦的研究中，笔者发现以下一组有趣性质。我们先约定：椭圆（或双曲线）的方程为ax2+by2=1（a、b为常数），它的弦AB过定点T（m、n）性质1：若弦AB的中点为Q，则Q点的轨迹所在曲线的方程为：ax2+by2=amx+bny证明：（图示仅以交点在x轴上的椭圆为例，其余从略）如图（1）设A（x1、y1）B（x1、y2）Q（x，y）则x1+x2=2x，y1+y2=2y由ax12+by12=1，ax22+by22=1两式相减可得AB所在直线的斜率为：1212yyxx=-1212()()axxbyy=-axby，又由A、B、Q、T四点共线知1212yyxx=ynxm，故得-axby=ynxm，即ax2+by2=amx+bny为点Q的轨迹所在曲线方程。性质2：若过弦的两端A、B作椭圆（或双曲线）的切线则两切线交点P的轨迹所在曲线方程为amx+bny=1证明：如图（2）设A（x1、y1）B（x1、y2），P（x0，y0）因切线PA、PB所在直线方程分别为axx1+byy1=12axx2+byy2=1，而P（x0，y0）为它们的交点故ax0x1+by0y1=1ax0x2+by0y2=1,故弦AB所在直线方程为ax0x+by0y=1，又弦AB过点T（m，n）所以amx0+bny0=1，即点P（x0，y0）所在曲线方程为amx+bny=1。性质3：若过弦AB的两端点的切线交于P，弦AB的中点为Q，椭圆（或双曲线）的中心为O，则O、Q、P三点共线。证明：如图（3）设A（x1、y1）B（x1、y2），P（x0，y0）Q（xQ，yQ）若弦AB||x轴，由对称性质知y0=0yQ=0显然O、Q、P三点共线。若弦AB不平行于x轴因切线PA、PB所在直线方程分别为axx1+byy1=1,axx2+byy2=1，所以ax0x1+by0y1=1,ax0x2+by0y2=1，两式联立解得：x0=211221()yyaxyxy，y0=212112()xxbxyxy，即OP所在直线的斜率KOP=00yx=-ab1212xxyy，又由于Q为AB的中点（x1+x2=2xQ，y1+y2=2yQ）以及A、B两点在曲线ax2+by2=1上，故ax12+by12=1，ax22+by22=1两式相减可得1212yyxx=-QQaxby故OQ所在直线斜率KOQ=QQyx=-ab1212xxyyKOP=KOQ即O、Q、P三点共线。性质4：若OP所在的直线交椭圆（或双曲线）于点M，Q为AB中点，则OQ·OP=OM2证明：如图（4），设P（xP，yP）Q（xQ，yQ）M（xM、yM）3并设OPOQ=t1，则xP=t1xQ，yP=t1yQ，而P（xP，yP）满足amxP+bnyP=1所以amxQ+bnyQ=11t①又设OMOQ=t2，则xM=t2xQ，yM=t2yQ，点M（xM、yM）满足方程axM2+byM2=1，所以axM2+byM2=221t②，又点Q（xQ，yQ）满足axQ2+byQ2=amxQ+bnyQ③由①②③知t1=t22即OPOQ=2()OMOQ，故OQ·OP=OM2特别地，当定点T处于椭圆（或双曲线）的焦点位置，直线amx+bny=1为椭圆（或双曲线）的相应准线，P为该准线与椭圆（或双曲线）的对称轴的交点。推论（i）：若点M在椭圆（或双曲线）ax2+by2=1上，点P在直线amx+bny=1上，OQ·OP=OM2，则点Q的轨迹方程为ax2+by2=amx+bny证明：设P（xP，yP）Q（xQ，yQ）M（xM、yM），则axM2+byM2=1，amxP+bnyP=1④，设OMOQ=t，由OQ·OP=OM2得OPOQ=2()OMOQ=t2所以xM=txQ，yM=tyQ，xP=t2xQ，yP=t2yQ，代入④得t2（axQ2+byQ2）=1，t2（amxQ+bnyQ）=1，故axQ2+byQ2=amxQ+bnyQ即点Q的轨迹方程为ax2+by2=amx+bny。