5.5-线段的定比分点

高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第1页（共7页）课题：线段的定比分点教学目标：1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2.熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3.理解点P分有向线段21PP所成比λ的含义；4.明确点P的位置及λ范围的关系.教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用.教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还是λ＜０授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。2．向量加法的交换律：a+b=b+a3．向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab=a+(b)5．差向量的意义：OA=a,OB=b,则BA=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。6．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=07．运算定律λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb8．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。9．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第2页（共7页）于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量10．平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0。11．平面向量的坐标运算若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa。若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB12．a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0二、讲解新课：1．线段的定比分点及λP1,P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1,P2的任一点，存在实数λ，使PP1=λ2PP，λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：λ0(内分)(外分)λ0(λ-1)(外分)λ0(-1λ0)2.定比分点坐标公式：若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且PP1＝λ2PP，则点P的坐标高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第3页（共7页）为（1,12121yyxx），我们称λ为点P分21PP所成的比.设PP1=λ2PP点P1,P,P2坐标为(x1,y1)(x,y)(x2,y2)，由向量的坐标运算PP1=(x-x1,y-y1)，2PP=(x2-x,y2-y)∵PP1=λ2PP∴(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y)∴)()(2121yyyyxxxx112121yyyxxx定比分点坐标公式(1)点P分12PP所成的比与点P分21PP所成的比是两个不同的比，要注意方向.3.点P的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.特别地，当λ＝１时，有PP1＝2PP，即点P是线段Ｐ１Ｐ２之中点，其坐标为（2,22121yyxx）.②当λ＜０(1)时，PP1与2PP反向共线，这时称点P为21PP的外分点.探究：若Ｐ１、Ｐ２是直线l上的两点，点P是l上不同于Ｐ１、Ｐ２的任意一点，则存在一个实数λ，使PP1＝λ2PP，λ叫做P分有向线段21PP所成的比.而且，当点P在线段Ｐ１Ｐ２上时，λ＞０；当点P在线段Ｐ１Ｐ２或Ｐ2Ｐ1的延长线上时，λ＜０.对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若λ＞０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的内分点；(2)若λ＜０，则点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点.一般来说，(1)是正确的，而(2)却不一定正确.这是因为，当λ＝－１时，定比分点的坐标公式ｘ＝121xx和ｙ＝121yy显然都无意义，也就是说，当λ＝－１时，定比分点不存在.高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第4页（共7页）由此可见，当点P为线段Ｐ１Ｐ２的外分点时，应有λ＜０且λ≠－１.4.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设1OP＝ａ，2OP＝ｂ，由于PP1＝OP－1OP＝OP－ａ，2PP＝2OP－OP＝ｂ－OP且有21PP＝λ2PP，所以OP-a=λ(b-OP).即可得OP=baba1111.这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用.三、讲解范例：例1已知A(1，3)，B(－２，０)，Ｃ（２，１）为三角形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BL∶BC＝CM∶CA＝NA∶AB＝１∶３，求L、M、N三点的坐标.分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L、M、N分向量BC、CA、AB所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标.另外，要求L、M、N的坐标，即求OL、OM、ON的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式.下面给出第二种解法.解：∵Ａ（１，３），Ｂ（－２，０），Ｃ（２，１），∴OA＝（１，３），OB＝（－２，０），OC＝（２，１）又∵ＢＬ∶ＢＣ＝ＣＭ∶ＣＡ＝ＡＮ∶ＡＢ＝１∶３∴可得：L分CB，M分AC，N分BA所成的比均为λ＝２∴OL＝11OC＋11OB＝31（２，１）＋32（-2，0）=（-32，31）OM=11OA+1OC=31(1,3)+32（２，１）＝（35，35）ON＝11OB＋1OA＝31（－２，０）＋32（１，３）＝（０，２）∴Ｌ（－32，31）、Ｍ（35，35）、Ｎ（０，２）为所求.上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用.高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第5页（共7页）例2已知三点A(0，8)，B(－４，０)，Ｃ（５，－３），Ｄ点内分AB的比为１∶３，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标.分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解.解：由已知有AD＝31DB，则得ABDB＝34又21ABCBDESS，而Ｓ△ＢＤＥ＝21｜DB｜·｜BE｜·sin∠DBE，Ｓ△ＡＢＣ＝21｜AB｜·｜BC｜sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC∴21BCABBEDB，即得：32BCBE又点E在边BC上，所以2BCBE，∴点E分BC成比λ＝２由定比分点坐标公式有221)3(20221524EEyx,即Ｅ（２，－２），又由631181311)4(310DDyx,有D（－１，６）.高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第6页（共7页）记线段DE的中点为M(x,y),则2262212)1(2yx,即M（21，２）为所求.四、课堂练习：1．已知点A(－２，-３)，点Ｂ（４，１），延长AB到P，使｜AP｜＝３｜PB｜，求点P的坐标.解：因为点P在AB上的延长线上，P为AB的外分点，所以，AP＝λPB，λ＜０，又根据｜AP｜＝３｜PB｜，可知λ＝－３，由分点坐标公式易得P点的坐标为（７，３）．2．已知两点P１（３，２），Ｐ２（－８，３），求点P(21，ｙ)分21PP所成的比λ及ｙ的值.解：由线段的定比分点坐标公式得1321)8(321y，解得2249175y五、小结六、课后作业：1.已知点A分有向线段BC的比为2，则在下列结论中错误的是（）A.点C分AB的比是-31B.点C分BA的比是-3C.点C分AC的比是-32D.点A分CB的比是22.已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－37，ｙ）分有向线段21PP所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（）A.－41，８B.41C.－41，－８D.４，813.△ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在高中数学教案第五章线段的定比分点（第8课时）第7页（共7页）y轴上，则顶点C的坐标是（）A.(2，-7)B.(-7，2)C.(-3，-5)D.(-5，-3)4.已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=.5.△ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为.6.已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝81Ｓ△ＡＢＣ，则M分AB所成的比为.7.已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分21PP所成的比λ．8.过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数5852xy的图象交于点P，求P分21PP所成的比值.9.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.参考答案：1.D2.C3.A4.2或275.(8,-4)6.717.P1(1,-2),P2(3,0),A、B分21pp所成的比λ1、λ2分别为-21,-28.1259.Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ七、板书设计（略）八、课后记：