三角函数的诱导公式五、六

第一章三角函数1．3三角函数的诱导公式第二课时三角函数的诱导公式五、六梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解诱导公式五、六的推导过程．2．掌握六组诱导公式并能灵活运用．问题一：给定一个角α，角π2－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数值之间有什么关系？答：π2－α的终边与α的终边关于直线y＝x对称．设α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则π2－α的终边与单位圆的交点为P1(y，x)．根据任意角的三角函数的定义知：sinα＝y，cosα＝x，sinπ2－α＝x，cosπ2－α＝y.于是，sinπ2－α＝cosα，cosπ2－α＝sinα.问题二：怎样求π2＋α的正弦、余弦值呢？答：sinπ2＋α＝sinπ－π2－α＝sinπ2－α＝cosα，cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα，于是，sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα.1．诱导公式(1)公式五：sinπ2－α＝______，cosπ2－α＝______.(2)公式六：sinπ2＋α＝______，cosπ2＋α＝______.cosαsinαcosα－sinα2．公式五和公式六的文字概括π2±α的____________函数值，分别等于α的____________函数值，前面加上一个把α看成___________时原函数值的符号．正弦(余弦)余弦(正弦)锐角解剖难点探究提高重点难点突破1.对公式五、公式六的理解(1)π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”．注意：把α看成锐角，实际上α可以为任意角．(2)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用．2．对公式一～公式六六组诱导公式的记忆公式一～四归纳：α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．公式五～六归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．归纳透析触类旁通课堂互动探究例1题型1给值求值(1)已知cosπ2＋α＝35，且α∈π2，32π，则tan(π－α)＝()A.43B.34C．－34D．±34【思路探索】可根据诱导公式先求出sinα的值，再求tan(π－α)的值．【解析】由cosπ2＋α＝－sinα＝35，∴sinα＝－35.又α∈π2，32π，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝34，∴tan(π－α)＝－tanα＝－34.【答案】C(2)已知sinπ6－α＝45，求cos56π＋α·sinπ3＋α的值．【思路探索】要注意求值式子中的角与已知角的关系：56π＋α＝π－π6－α，π6－α＋π3＋α＝π2，再利用诱导公式求解．【解】∵cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α，又sinπ3＋α＝sinπ2－π6－α＝cosπ6－α，∴cos56π＋αsinπ3＋α＝－cos2π6－α＝－1－sin2π6－α＝－1－1625＝－925.【名师点拨】对于给值求值的题型，一定要注意观察已知的角和求值中角的关系，在找关系时，尽量出现特殊角，如π2，π等，然后再利用公式求解．牛刀小试1(2017·广州市高三综合二)已知cosπ12－θ＝13，则sin5π12＋θ的值是()A.13B.223C．－13D．－223解析：sin5π12＋θ＝sinπ2－π12＋θ＝sinπ2－π12－θ＝cosπ12－θ＝13.答案：A例2题型2利用诱导公式化简、求值化简下列各式．(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°；(2)sin52π＋α·cos72π－αsinα－32π·sin3π＋α.【思路探索】对于(1)注意到1°＋89°＝2°＋88°＝…＝90°，利用诱导公式求解；对于(2)需利用诱导公式转化为α的三角函数再求解．【解】(1)∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，…∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＝1＋1＋…＋1＋12＝892.(2)原式＝sinπ2＋αcos32π－α－sin32π－α－sinα＝cosα·－sinαcosα·－sinα＝1.【名师点拨】(1)在化简三角函数式时，要注意把角化为相同，三角函数的名称尽量统一．(2)若α＋β＝π2，则sin2α＋sin2β＝cos2α＋cos2β＝1.牛刀小试2若sinα＝－35，则sin－α－32πsin32π－α·tan22π－αcosπ2－α·cosπ2＋α·sinπ＋α＝()A.35B.53C.45D.54解析：∵sinα＝－35，∴原式＝cosα·－cosα·tan2αsinα－sinα·－sinα＝－1sinα＝53.答案：B已知角α终边上一点P(－4,3)，求cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α的值．例3【思路探索】利用诱导公式求解．【解】∵角α终边一点P(－4,3)，∴tanα＝yx＝－34.则cosπ2＋αsin－π－αcos11π2－αsin9π2＋α＝－sinα·sinα－sinα·cosα＝tanα＝－34.【名师点拨】灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的．(2017·内蒙古包头一中月考)如果|sinα|＝13，且α是第二象限角，那么sinα－π2＝()A．－13B.13C．－223D.223牛刀小试3解析：∵|sinα|＝13，且α是第二象限角，∴sinα＝13，cosα＝－1－sin2α＝－223，∴sinα－π2＝－sinπ2－α＝－cosα＝223.答案：D例3题型3三角函数的证明求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tanα.【思路探索】待证的等式左边较复杂，可从左向右证，由于右边只有正切，故需将左边化简时利用诱导公式化成正切．【证明】左边＝tan－αsin－αcos－αsin2π－π2－αcos2π－π2－α＝－tanα－sinαcosαsin－π2－αcos－π2－α＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝sin2α－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边，原式得证．【名师点拨】利用诱导公式证明等式问题，关键在于对公式的灵活应用．主要思路在于如何配角，如何去分析角之间的关系．牛刀小试4已知f(cosx)＝cos17x，证明：f(sinx)＝sin17x.证明：f(sinx)＝fcosπ2－x＝cos17π2－x＝cos172π－17x＝cos8π＋π2－17x＝cosπ2－17x＝sin17x.∴结论得证．即学即练稳操胜券课堂基础达标知识点1给值求值1．已知sinπ6＋α＝33，则cosπ3－α的值为()A.33B.63C．－33D．－63解析：cosπ3－α＝sinπ2－π3－α＝sinπ6＋α＝33.答案：A2．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于()A.232B．－232C.13D．－13解析：∵α＋π4＝α－π4＋π2，∴cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4＝－sinα－π4＝－13，故选D.答案：D知识点2利用诱导公式化简、求值3．(2017·合肥模拟)式子cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________.解析：原式＝cos2π2－π4＋α＋cos2π4＋α＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1.答案：14．(2017·衡水中学测试)化简sinθ－5πcos3π－θ·cosπ2－θsinθ－3π·cos8π－θsin－θ－4π的结果是________．解析：原式＝－sinθ－cosθ·sinθ－sinθ·cosθ－sinθ＝1.答案：1知识点3三角函数的证明5．求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)＝－sin2α.证明：左边＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α＝右边，∴等式成立．