二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-(共43张PPT)

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[小题热身]1．(必修5P86T3改编)不等式组x－3y＋60，x－y＋2≥0表示的平面区域是()答案：C2．下面给出的四个点中，位于x＋y－10，x－y＋10表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)解析：将四个点的坐标分别代入不等式组x＋y－10，x－y＋10，满足条件的是(0，－2)．答案：C3．(2015·北京卷)若x，y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A．0B．1C.32D．2解析：作出不等式组所表示的平面区域，如下图．作直线x＋2y＝0，向右上平移，当直线过点A(0,1)时，z＝x＋2y取最大值，即zmax＝0＋2×1＝2.答案：D4．(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则x≥0y≥03x＋2y≤12x＋2y≤8，目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.答案：D5．已知实数x，y满足x≥1，y≤2，x－y≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是________．解析：作出可行域为如图所示的三角形，∴S△＝12×1×1＝12.答案：126．若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则z＝x－y的最大值是________．解析：作出约束条件x≥0x＋2y≥32x＋y≤3表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z＝x－y过点A(1,1)时，目标函数z＝x－y取得最大值0.答案：0[知识重温]一、必记6●个知识点1．二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C＝0的点；(2)满足Ax＋By＋C0的点；(3)满足Ax＋By＋C0的点．2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的符号．3．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．6．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、必明2●个易误点1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c0(a0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．考向一二元一次不等式(组)表示平面区域[自主练透型][例1]已知区域D：x－y＋1≥0，x＋y－1≥0，3x－y－3≤0的面积为S，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S，则k的值为()A.13B.12C．2D．3[解析]作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y＝kx＋1过定点A(0,1)，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S，则直线y＝kx＋1过BC中点D.由x－y＋1＝0，3x－y－3＝0，解得x＝2，y＝3，即B(2,3)．又C(1,0)，∴BC的中点为D32，32，则32＝32k＋1，解得k＝13.[答案]A[悟·技法]平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．[通·一类]1．(2017·济南一模)设不等式组x＋y－1≥0x－y＋1≥02x－y－2≤0表示的平面区域为M，若直线kx－y＋1＝0(k∈R)将区域M的面积分为相等的两部分，则实数k的值为()A.13B.12C．－12D．－13解析：如图所示，阴影区域△ABC为不等式组x＋y－1≥0x－y＋1≥02x－y－2≤0表示的平面区域M，因为直线l：kx－y＋1＝0(k∈R)过定点(0,1)，所以直线l过点B(0,1)．又直线l将区域M，即△ABC的面积分为相等的两部分，所以直线l需过AC的中点D(2,2)，代入kx－y＋1＝0，得k＝12，故选B.答案：B考向二求目标函数的最值[分层深化型][例2](2016·课标全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．[解析]由题意画出可行域(如图所示)，其中A(－2，－1)，B1，12，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点B1，12时，z取最大值32.[答案]32[悟·技法]利用可行域求目标函数最值的方法(1)首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可．(2)画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值．[通·一类][同类练]——(着眼于触类旁通)2．(2016·天津卷)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，2x＋3y－6≥0，3x＋2y－9≤0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17解析：由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．当直线2x＋5y－z＝0过点A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0＝6，故选B.答案：B[变式练]——(着眼于举一反三)3．(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域x－2≤0，x＋y≥0，x－3y＋4≥0中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝()A．22B．4C．32D．6解析：由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x＋y－2＝0与直线x＋y＝0平行，所以可行域内的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝2＋12＋－2－12＝32.故选C.答案：C[拓展练]——(着眼于迁移应用)4．变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解析：由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝25.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.考向三线性规划的实际应用[互动讲练型][例3](2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．[解析]由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，则总利润z＝2100x＋900y，约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(包括边界)中的整数点所示．由x∈N，y∈N，可知z取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．[答案]216000[悟·技法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[通·一类]5．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．解析：设买科普书x本与文具y套，总数为z＝x＋y，由题意可得6x＋10y≤300，x≤y，x≥0，y≥0，x∈N，y∈N，作出可行域如图中阴影部分，将z＝x＋y转化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A754，754时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18,19)，此时z最大为37.答案：37