八年级数学上册专题提高讲义第1讲勾股定理北师大版

第一讲：勾股定理及其运用◆【知识考点梳理】1、勾股定理，又称商高定理、毕达哥拉斯定理或毕氏定理。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。定理：在直角三角形中，两直角边平方之和等于斜边的平方；在ABC中，若90C，则222abc；注意：（1）运用勾股定理的条件是在直角三角形中；（2）认准斜边；2、勾股定理的逆定理----运用定理判断三角形为直角三角形在ABC中，若222abc，则90C；注意体会：公式的变形式。若222acb，则90A补充公式：chab（ba,是直角三角形的直角边边长，c是斜边边长，h是斜边上的高）3、勾股定理的应用：注意体会建立直角三角形模型，运用勾股定理建立方程求解。4、思想方法归纳：（1）方程思想；（2）数学建模思想；（3）转化类比思想；（4）分类讨论思想；◆【考点聚焦、方法导航】【考点题型1】-----直角三角形中由已知的边长求未知边的长度【例1】在ABC中，90C，直角边为a、b，斜边为c。1、（1）若5a，12b，则c；（2）若25c，15b，则a；2、若:3:4ab，20c，则a，b；【例2】在RtABC中，090C，030A。（1）若10AB，则BC，2AC；（2）若1BC，则2AC；【例3】在RtABC中，090C，045A。（1）若10AB，则2BC；（2）若22AC，则AB。◆方法点拨：认清斜边，运用直角三角形三边的关系建立方程求线段的长；【考点题型2】---利用勾股定理解决实际问题【例4】如图所示：若将长方形纸片沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，3220BAAB小河东北牧童小屋10402040出发点70终止点展开后得到一个等腰三角形，则展开后的三角形的周长是（）A、16B、11C、12D、13【例5】（最短距离问题）1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是；1题图2题图训练1题图2、如图：等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，且1AE，则2()EMCM的最小值为；◆目标训练1：1、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，他位于小屋B的西8km北7km处，他把马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是km。2、如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米。小明到达的终止点与原出发点的距离是米。◆方法点拨：【考点题型3】----直角三角形的判定（勾股定理的逆定理运用）【例6】三角形的三边为,,abc，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A、::8:16:17abcB、222abcC、2()()abcbcD、::13:5:12abc【例7】阅读理解：已知,,abc为ABC的三边，且满足222244acbcab，试判断ABC的形状。MABCEDABEFDCC'EDCBA解：∵222244acbcab①∴2222222cababab②∴222cab③∴ABC为直角三角形。问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）错误的原因是；（3）本题正确的结论是；【考点题型4】---利用勾股定理建立方程求线段的长度【例8】如图，某学校（A点）与公路（直线l）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．【例9】已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90B，4ADAB，7BC，点E在BC边上，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C处。（1）求DEC的度数；（2）求DEC的面积；◆目标训练2：1、已知如图：长方形ABCD中，3ABcm，9ADcm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A、23cmB、24cmC、26cmD、212cm2、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知15DAkm，10CBkm，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？◆方法小结：◆【创新思维与能力拓展】1.如图：ABC中，20ABAC，32BC，D是BC上一点，且ADAC，则BD的长为；2.（13凤阳）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BDCF，BDCF成立。（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G。①、求证：BDCF；②、当4AB，2AD时，求线段BG的长。图1图2图3作业设计ADEBCABCD图13.3图13.2图13.1A45°θGABCDEFFEDCBFEDCBA姓名：作业等级：A组---夯实基础1、1、下列条件中，能判定ABC为直角三角形的是（）A、23ABCB、::3:4:5ABCC、222::3:7:4abcD、2.5a，3b，2c2、如图4，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯。3、直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为；4、ABC中，15AB，13AC，高12AD，则ABC的周长为；B组---能力拓展1、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该三角形的面积为（）A、32B、40C、48D、562、若ABC的三边,,abc满足222200121620abcabc，则ABC为三角形；3、如图，ABC中，45B，60C，10BC，则ABC的面积为;4、在ABC中，cmccmbcma15,13,14，求ABCS5、要在宽为m28的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为m3，且与灯柱成120角(如图所示)，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时．照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果?（精确到0.01米，732.13）CAB