2020年高考数学模拟试卷(文科20)

第1页，共12页2020年高考数学模拟试卷（文科20）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合𝑀={1,3，5}，𝑁={2,4，5}，则𝑀∪𝑁=()A.{5}B.{3,5}C.{2,4，5}D.{1,2，3，4，5}【答案】D【解析】解：集合𝑀={1,3，5}，𝑁={2,4，5}，则𝑀∪𝑁={1,2，3，4，5}，故选：D．直接求出即可．考查集合的并集运算，基础题．2.设𝑧=𝑖(1−𝑖)，则𝑧−=()A.1−𝑖B.1+𝑖C.−1−𝑖D.−1+𝑖【答案】A【解析】解：∵𝑧=𝑖(1−𝑖)=1+𝑖，∴𝑧−=1−𝑖．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1(𝑎0)的实轴长为4，则其渐近线方程为()A.𝑦=±𝑥B.𝑦=±√2𝑥C.𝑦=±12𝑥D.𝑦=±2𝑥【答案】C【解析】解：∵实轴长为4，∴2𝑎=4，∴𝑎=2，∴其渐近线方程为：𝑦=±12𝑥，故选：C．先由实轴长为4，求出𝑎=2，从而得到渐近线方程．本题主要考查了双曲线的渐近线方程，是中档题．4.已知𝑎=log0.22，𝑏=20.2，𝑐=0.20.3，则()A.𝑎𝑐𝑏B.𝑎𝑏𝑐C.𝑐𝑎𝑏D.𝑏𝑐𝑎【答案】A【解析】解：∵𝑎0，𝑏1，𝑐∈(0,1)，∴𝑎𝑐𝑏．故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．第2页，共12页5.若变量x，y满足约束条件{𝑥−3𝑦+4≥03𝑥−𝑦−4≤0𝑥+𝑦≥0，则𝑧=4𝑥−𝑦的最小值是()A.−6B.−5C.5D.6【答案】B【解析】解：设变量x，y满足约束条件{𝑥−3𝑦+4≥03𝑥−𝑦−4≤0𝑥+𝑦≥0在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4𝑥−𝑦=0经过点𝐴(−1,1)时，4𝑥−𝑦最小，最小值为：−5，则目标函数𝑧=4𝑥−𝑦的最小值：−5．故选：B．先根据条件画出可行域，再利用𝑧=4𝑥−𝑦，几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线𝑧=4𝑥−𝑦，过可行域内的点A时的最小值，从而得到z最小值即可．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6.从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是()A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】解：从2名女同学和3名男同学中任选2人参加演讲比赛，基本事件总数𝑛=𝐶52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数𝑚=𝐶21𝐶31=6，则选中的2人是1名男同学1名女同学的概率是𝑝=𝑚𝑛=610=35．故选：C．基本事件总数𝑛=𝐶52=10，选中的2人是1名男同学1名女同学包含的基本事件个数𝑚=𝐶21𝐶31=6，由此能求出选中的2人是1名男同学1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图所示，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为𝜃，那么cos2𝜃2=()A.310B.35C.710D.45【答案】D【解析】解：设大直角三角形的直角边长为a，𝑎+1，则𝑎2+(𝑎+1)2=25，𝑎0．解得𝑎=3．∴𝑐𝑜𝑠𝜃=35，𝑠𝑖𝑛𝜃=45．第3页，共12页∴cos2𝜃2=1+𝑐𝑜𝑠𝜃2=45；故选：D．设大直角三角形的直角边长为a，𝑎+1，𝑎2+(𝑎+1)2=25，𝑎0.解出利用倍角公式即可得出．本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知𝑓(𝑥)是奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1(其中e为自然对数的底数)，则𝑓(ln12)=()A.−1B.1C.3D.−3【答案】A【解析】解：∵𝑓(ln12)=𝑓(−𝑙𝑛2)∵𝑓(𝑥)是奇函数，∴𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)∵当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1，则𝑓(ln12)=𝑓(−𝑙𝑛2)=−𝑓(𝑙𝑛2)=−(𝑒𝑙𝑛2−1)=−1故选：A．由𝑓(𝑥)是奇函数可得𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，则𝑓(ln12)=𝑓(−𝑙𝑛2)=−𝑓(𝑙𝑛2)，代入已知可求本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题9.已知四棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶𝐷的所有顶点都在球O的球面上，𝑆𝐴=𝑆𝐵，𝑆𝐴⊥𝑆𝐵，底面ABCD是等腰梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，且满足𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝐷𝐶=2，则球O的表面积是()A.43𝜋B.8√23𝜋C.4𝜋D.8𝜋【答案】C【解析】解：底面ABCD是等腰梯形，𝐴𝐵//𝐶𝐷，且满足𝐴𝐵=2𝐴𝐷=2𝐷𝐶=2，可知底面ABCD的外心为AB的中点O，到顶点的距离为1，因为𝑆𝐴=𝑆𝐵，𝑆𝐴⊥𝑆𝐵，𝐴𝐵=2，所以𝑆𝐴=𝑆𝐵=√2，AB的中点O到S的距离为1，所以O是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，所以球O的表面积是：4𝜋×12=4𝜋．故选：C．利用已知条件求出四棱锥的外接球的半径，然后求解球O的表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．10.已知点F为椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎1)的一个焦点，过点F作圆𝑥2+𝑦2=1的两条切线，若这两条切线互相垂直，则𝑎=()A.2B.√2C.√3【答案】C【解析】解：如图，由题意椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎1)的右焦点为F，过点F作圆𝑥2+𝑦2=1的切线，若两条切线互相垂直，可得√2=𝑐，则2=𝑐2，𝑎2=𝑏2+𝑐2=3，第4页，共12页则𝑎=√3．故选：C．由题意画出图形，可得𝑐=√2，利用椭圆的性质求解a即可．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝜔𝑥(𝜔0)在区间[0,𝜋2]上是单调函数，且𝑓(𝑥)的图象关于点𝑀(34𝜋,0)对称，则𝜔=()A.23或103B.23或2C.143或2D.103或143【答案】B【解析】解：𝑓(𝑥)的图象关于点𝑀(34𝜋,0)对称，则3𝜋4𝜔=𝑘𝜋+𝜋2，整理得：𝜔=4𝑘3+23(𝑘∈𝑍)，当𝑘=0时，𝜔=23，所以函数𝑓(𝑥)=cos23𝑥，函数的最小正周期为3𝜋，所以函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上是单调递减函数．当𝑘=1时，𝜔=2，所以函数𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥，函数的最小正周期为𝜋，所以函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上是单调递减函数．当𝑘=2时，𝜔=103，所以函数𝑓(𝑥)=cos103𝑥，函数的最小正周期为3𝜋5，所以函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝜋2]上是不是单调递减函数，函数的单调性先减后增，故错误．故选：B．首先求出函数的关系式中的𝜔和k的关系，进一步对k的取值进行验证，最后求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=2+√4𝑎𝑛−𝑎𝑛2，则𝑎1+𝑎2020的最大值是()A.4−2√2B.8−√2C.4+2√2D.8+√2【答案】C【解析】解：依题意𝑎𝑛+1=2+√4𝑎𝑛−𝑎𝑛2，可化为：(𝑎𝑛+1−2)2+(𝑎𝑛−2)2=4，令𝑏𝑛=(𝑎𝑛−2)2，则𝑏𝑛+1+𝑏𝑛=4，∴𝑏𝑛+2+𝑏𝑛+1=4，于是𝑏𝑛+2=𝑏𝑛，∴𝑏1=(𝑎1−2)2，𝑏2020=𝑏2=(𝑎2−2)2，∴𝑏1+𝑏2020=𝑏1+𝑏2=4，即(𝑎1−2)2+(𝑎2020−2)2=4，法一：{𝑎1=2+2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎2020=2+2𝑠𝑖𝑛𝜃⇒𝑎1+𝑎2020=4+2√2sin(𝜃+𝜋4)≤4+2√2(当且仅当𝜃=𝜋4时等号成立)；法二：∵𝑥+𝑦2≤√𝑥2+𝑦22，∴𝑎1+𝑎2020=(𝑎1−2)(𝑎2020−2)+4≤2×√(𝑎1−2)2+(𝑎2020−2)22+4=4+2√2(当且仅第5页，共12页当𝑎1=𝑎2020=2+√2时等号成立)法三：(𝑎1−2)2+(𝑎2020−2)2=4，即(𝑎1,𝑎2020)在(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4上，令𝑧=𝑥+𝑦，即𝑥+𝑦−𝑧=0，∴𝑑=|𝑧−4|√2≤2，∴|𝑧−4|≤2√2，∴4−2√2≤𝑧≤4+2√2，∴𝑧𝑚𝑎𝑥=4+2√2．故选：C．依题意𝑎𝑛+1=2+√4𝑎𝑛−𝑎𝑛2，可化为：(𝑎𝑛+1−2)2+(𝑎𝑛−2)2=4，法一：利用圆的参数方程，结合辅助角公式可求得𝑎1+𝑎2020的最大值；法二：由𝑥+𝑦2≤√𝑥2+𝑦22，利用基本不等式可求得𝑎1+𝑎2020的最大值；法三：依题意，(𝑎1,𝑎2020)在(𝑥−2)2+(𝑦−2)2=4上，令𝑧=𝑥+𝑦，利用点到直线间的距离公式可求得答案．本题考查数列递推式的应用，考一题多解的运用，其中涉及圆的参数方程法、基本不等式法及点到直线间的距离公式的应用，考查思维与运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线𝑦=(𝑥−1)𝑒𝑥在点(1,0)处的切线方程为______．【答案】𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0【解析】解：由𝑦=(𝑥−1)𝑒𝑥，得𝑦′=𝑥𝑒𝑥，则曲线𝑦=(𝑥−1)𝑒𝑥在点(1,0)处的切线斜率𝑘=𝑦′|𝑥=1=𝑒，∴曲线𝑦=(𝑥−1)𝑒𝑥在点(1,0)处的切线方程为𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0，故答案为：𝑒𝑥−𝑦−𝑒=0．先对曲线𝑦=(𝑥−1)𝑒𝑥求导，然后求出切线斜率𝑘=𝑦′|𝑥=1，再求出切线方程．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．14.已知向量𝑎⃗⃗=(1,1)，𝑏⃗=(−3,𝑚)，若向量2𝑎⃗⃗−𝑏⃗与向量𝑏⃗共线，则实数𝑚=______．【答案】−3【解析】解：因为向量𝑎⃗⃗=(1,1)，𝑏⃗=(−3,𝑚)，所以向量2𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(5,2−𝑚)；∵2𝑎⃗⃗−𝑏⃗与向量𝑏⃗共线；∴5𝑚−(2−𝑚)×(−3)=0⇒𝑚=−3；故答案为：−3．先求出向量2𝑎⃗⃗−𝑏⃗的坐标(5,2−𝑚)，这样根据向量平行时的坐标关系即可建立关于m的方程，解出m．本题主要考查向量坐标的数乘和减法运算，以及共线向量的概念，共线向量的坐标关系．15.已知圆锥的顶点为S，点A，B，C在底面圆周上，且AB为底面直径，若𝑆𝐴=𝐴𝐶=𝐵𝐶，则直线SA与BC的夹角为______．【答案】𝜋3【解析】解：取AB中点O，连结SO，CO，∵圆锥的顶点为S，点A，B，C在底面圆周上，且AB为底面直径，𝑆𝐴=𝐴𝐶=𝐵𝐶，∴𝑂𝑆⊥平面ABC，𝑂𝐶⊥𝐴𝐵，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，第6页，共12页设𝑂𝐶=1，则𝑆(0,0，1)，𝐴(0,−1,0)，𝐵(0,1，0)，𝐶(1,0，0)，𝑆𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,−1)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−