随机过程习题答案

随机过程习题答案习题22.1设随机过程为常数，，求的一维概率密度、均值和相关函数。解因，所以，也服从正态分布，所以，的一维概率密度为，均值函数相关函数2.2设随机变量Y具有概率密度，令，，求随机过程的一维概率密度及。解对于任意，是随机变量Y的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，对求导得的一维概率密度，均值函数相关函数2.3若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程试求：（1）的一维分布函数；（2）的二维分布函数；（3）的均值，方差。解（1）时，的分布列为01P一维分布函数时，的分布列为-12P一维分布函数（2）由于相互独立，所以的分布列为-1201二维分布函数（3）2.4设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解因独立，，所以，均值相关函数2.5已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过程均值和协方差函数。解均值协方差其它项都约掉了2.6设随机过程，其中是常数，在上服从均匀分布，令，求和。解而同理利用三角积化和差公式所以，而同理所以，2.7设随机过程，其中是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程的协方差函数。解根据题意，因相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零2.8设为实随机过程，为任意实数，令证明随机过程的均值函数和相关函数分别为的一维和二维分布函数。证明的取值为2.9设是一个周期为T的周期函数，随机变量Y在（0，T）上均匀分布，令，求证随机过程满足证明Y的密度函数为2.13设是正交增量过程，是标准正态随机变量，若对任意的，相互独立，令，求随机过程的协方差函数。解因是正交增量过程，，所以，有（因独立，）（利用正交增量过程的结论）习题44.1设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在其它整数点分别以概率向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。解转移概率如图一步概率转移矩阵为二步转移概率矩阵为4.2独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于，令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转移概率矩阵。解对应状态为，（正，反），（反，正），（反，反），（不可能事件）（不可能事件）同理可得下面概率，，，，，，一步转移概率矩阵为二步转移概率矩阵为4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为试证解根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有同理有所以，4.5设为随机过程，且为独立同分布随机变量序列，令试证：是马尔可夫链。证明只要证明满足无后效性，即即可。根据题意，，由此知是的函数，因为是相互独立的随机变量，所以，对任意的n，与相互独立。从而（因）（因与独立，条件概率等于无条件概率）4.6已知随机游动的转移概率矩阵为求三步转移概率矩阵及当初始分布为时，经三步转移后处于状态3的概率。解所以，4.7已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下（1）（2）求下一、二个月的销售状态。解（1）（2）4.8某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）季节123456789101112销售状态112122111212季节131415161718192021222324销售状态112211212111以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解状态1的个数为15个，状态2的个数为9个（1）所以，销售状态的初始分布为（2）求一步转移概率状态共有7个，状态共有7个，状态共有7个，状态共有2个，所以，，一步转移概率矩阵为，三步转移概率矩阵为三步转移后的销售状态分布为4.9设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵及状态空间可分解成几个闭集。解状态空间为转移概率矩阵为画出状态转移图状态空间可分解成两个闭集：4.10讨论下列转移矩阵的马尔可夫链的状态分类（2）解画出状态转移图状态1，2，3互通，C={1，2，3}是闭集，，，因此，状态1常返且是正常返，非周期，所以是遍历态。C={1，2，3}是遍历闭集。，所以状态4是非常返态。4.15将两个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放3个，现从每个盒子中任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内取出的球放入甲盒中），以表示经过n次交换后甲盒中的红球数，则为一齐次马尔可夫链，试求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明是遍历链；（3）求。解（1）由于每个盒子放3个球，所以甲盒中的红球数可能为0，1，2。所以状态空间I={0，1，2}；所以一步转移概率矩阵为（2）画出状态转移图因为是有限链，必有正常返态，状态0无周期、正常返，是遍历态；由于各状态互通，所以1、2也是遍历态，所以是遍历链。（3）因为该链为遍历链，极限分布就是平稳分布，根据和得方程组解此方程组得所以平稳分布为，，4.17设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单位）为若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布；（3）河流再次达到污染的平均时间。解（1）画出状态转移图因为是有限链，必有正常返态，状态1无周期、正常返，是遍历态；由于各状态互通，所以2、3、4也是遍历态，所以是遍历链。（2）根据和得方程组方程变形为增广矩阵经初等变换求解解出所以平稳分布为（3）河流再次达到污染的平均时间为天。习题66.1设有随机过程，其中为常数，是在区间上服从均匀分布的随机变量，问是否为平稳过程。解，与t无关所以是平稳过程。6.2设有随机过程，其中是均值为零、方差为的正态随机变量，求：（1）的概率密度；（2）是否为平稳过程。解（1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t，服从正态分布。，所以的概率密度为，的概率密度为，（2），与t有关所以，不是平稳过程。6.3设有随机过程，其中是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为是在上服从均匀分布且与相互独立的随机变量，为常数，问是否为平稳过程。解先求出瑞利分布的数学期望和的数学期望，与t无关所以，是平稳过程。6.4设有随机过程，其中是周期为T的实值连续函数，是在（0，T）上服从均匀分布的随机变量，证明是平稳过程并求相关函数。解，为常数，与t无关所以，是平稳过程。6.5设是平稳过程，且相互独立，求的相关函数，是否为平稳过程。解因是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t无关是的函数，又相互独立。所以，是常数与t无关所以，是平稳过程。6.13设正态随机过程具有均值为零，相关函数为，求给定t时的随机变量的协方差矩阵。解因是正态过程，且均值为零，相关函数与t无关，所以是平稳过程，则对任意给定的t，服从正态分布，，所以，，，，同理，所以，，，，，，，，，，，，所以协方差矩阵为6.15设随机过程和是单独且联合平稳随机过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，求和。解因所以习题77.2设平稳过程的相关函数，求的谱密度。解7.3设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，求的谱密度。解的概率密度为7.4已知平稳过程的相关函数，求谱密度。解7.6当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出的谱密度为。证明7.7已知平稳过程的谱密度为，求相关函数。解7.8设有平稳过程，其中为常数，是在上服从均匀分布的随机变量，是分布密度满足的随机变量，且相互独立，求证的谱密度为。证明设是和的联合分布密度，因和相互独立，所以，（因为偶函数，=0）又比较上面两式，所以，7.9设是单独且联合平稳的随机过程，试证：，。证明只要证明即可，由互相关函数的性质7.10设为平稳过程，令，为常数，试证证明7.11设是两个相互独立的平稳过程，均值都不为零，令，求和。解（因独立）7.13设线性时不变系统输入一个均值为零的实平稳过程，其相关函数为，若系统的脉冲响应为，试求系统的输出过程的相关函数、谱密度及的互谱密度。解先求，现找出使的区间当时，的区间为当时，的区间为所以，7.15设一个线性系统由微分方程给出，其中为常数，分别为输入平稳过程和输出平稳过程的样本函数，且输入过程均值为零，初始条件为零，，求输出的谱密度和相关函数。解令输入，则，将其带入方程解出所以，又，再根据傅氏变换的线性性质7.16设一个线性系统输入平稳过程为，其相关函数为。若输入、输出的样本函数满足微分方程其中为常数，求输出过程的谱密度和相关函数。解令输入，则，将其带入方程解出又，再根据傅氏变换的线性性质