初等数学研究-第四章-方程--习题详解

泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解1第四章方程习题详解1.试按函数类别，将代数方程和超越方程作进一步分类，并列出分类表。解：一次方程整式方程二次方程有理方程代数方程高次方程分式方程阿方程无理方程指数方程对数方程超越方程三角方程反三角方程2.方程210x和410x在有理数集上是否同解？在实数集上呢？在复数集上呢？答：在有理数集和实数集上同解，在复数集上不同解。3.叛别下列各对方程在实数域上是否同解？为什么？（1）311xxxx和3xx；解：不同解！3xx的解集为{1,0,1}；而0x不是311xxxx的解。（2）1121522xxxx和215xx；解：不同解！215xx的解为2x；而2x不是1121522xxxx的解。（3）2121xx和12x；解：同解！两者的解同为3x。（4）2121xx和12x；解：不同解！12x的解为1x，而1x不是2121xx的解。（5）322111xxxx和3221xx；泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解2解：同解！两者的解同为3x。（6）5lg0x和5lg0x；解：同解！两者的解同为1x。（7）4lg0x和4lg0x；解：不同解！4lg0x的解为1x，而1x不是4lg0x的解。（8）2lg0x和2g0x；解：同解！两者的解同为1x。（9）2221xx和2lg(22)lg1xx；解：同解！两者的解同为1x。（10）2321xxx和2lg(32)lg(1)xxx。解：不同解！2321xxx的解为1x；而1x不是2lg(32)lg(1)xxx的解。4.在实数域上解下列方程：（1）2(1)(2)(2)(3)(3)(1)xxxxxxxxx；解：去分母并整理得2320xx，解之得，121,2xx，经检验，121,2xx都不是原方程的根，从而原方程无解。（2）21141224xxxx；解：去分母并整理得2320xx，解之得，121,2xx，经检验，22x不是原方程的根，故原方程的根只有1x。泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解3（3）221219510836962314(91)xxxxxxx；解：去分母并整理得21x，即12x，经检验，12x是原方程的解。（4）11(6)5(6)10(5)3(4)23(4)xxxxxx；解：去分母并整理得2221490xx，解之得，17x，272x，经检验，原方程的解为17x和272x。（5）222211110776718712xxxxxxxx解：令276yxx，则方程化为111106126yyyy，去分母并整理得1236y，解之得，3y，从而有2376xx，即2790xx，解之得1(713)2x。（6）2248410()33xxxx。解：令43xyx，则方程化为231080yy，解之得，1242,3yy，泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解4从而有（1）423xx，解之得，12321,321xx；（2）4433xx，解之得，346,2xx。经检验，12321,321xx，346,2xx都是原方程的解。5.解下列方程：（1）3223222345623456xxxxxxxxxx；解：去分母并整理得423240xx，解之得，2283,3xx，即3,x或263xi，经检验3x和263xi均为原方程的解。（2）222264692(36)()()646936xxxxxxxxxx；解：原方程可化为226366166(9)6(4)xxxxxxxx，从而有0x或2269646(9)6(4)xxxxxx，对2269646(9)6(4)xxxxxx进行化简得236x或25125400xx，从而6xi或6(126)5x，经检验知原方程的解为6xi和6(126)5x。（3）23411372517()595()1423xxxxxxxx；解：23411372517()595()1423xxxxxxxx泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解553(1)4(4)5177(2)175(3)17[]595[]1423xxxxxxxx，8585858551685935251423xxxx，858585851423xxxx，11111423xxxx，11111234xxxx，11(1)(2)(3)(4)xxxx，(1)(2)(3)(4)xxxx，32712xx，52x，经验算，52x是原方程的根。（4）22210153615815xxxxxxx。解：令2815yxx，从而原方程可变形为232yxxyxy，22560yxyx，yx或6yx，从而有（1）2815xxx，解之得，12711711,22iixx；（2）28156xxx，解之得，34734,734xx。经验算，知方程的解为12711711,22iixx，34734,734xx。6.在实数域上解下列方程：（1）2222111294189xxxxx；泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解6解：2222111294189xxxxx，2222111294189xxxxx，2222(22111)(294189)xxxxx，222221112941892(294)(189)xxxxxxxx，263(294)(189)xxxx，22(63)(294)(189)xxxx，221294xxx，22750xx，解之得，1251,2xx，经验算知原方程的根为1251,2xx。（2）5327xxx；解：5327xxx，22(53)(27)xxx，532(5)(3)27xxxxx，112(5)(3)0xx，原方程无解。（3）21282422916xxxx；解：21282422916xxxx，222422(2422)(2422)916xxxxxxx，24220xx或22(2422)1916xxx，泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解7当24220xx时，解之得，23x；当22(2422)1916xxx时，解之得，423x。经检验，知423x是增根，而23x和423x是原方程的根。（4）112()2xyzxyz。解：112()2xyzxyz，222112[()(1)(2)3]2xyzxyz，222()(1)(2)3221220xyzxyz，222(1)(11)(21)0xyz，10110210xyz，解之得，123xyz此为所求。7.解下列方程：（1）32615140xxx；解：32615140xxx，322(2)(41514)0xxxx，2(2)(47)(2)0xxxx，2(2)(47)0xxx，解之得，2x或23xi，此为所求的解。（2）432619726120xxxx；解：432619726120xxxx，32(3)(6104)0xxxx，2(3)(21)(344)0xxxx，泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解8解之得，1234143,,,223xxxx，即原方程的解为1234143,,,223xxxx。（3）432421290xxxx；解：1421290，1x是原方程的解，利用综合除法可将原方程变为22(1)(3)0xx，所求解为12341,3xxxx。（4）54326141130xxxxx解：116141130，1x是原方程的解，利用综合除法可将原方程变为4(1)(3)0xx，所求解为12341xxxx，53x。8.作五次方程，使其各根分别为方程2322480xxx各根的(2)倍。解：由2yx得2yx代入2322480xxx并化简得5322161280yyy，此为所求的五次方程。9.作三次方程，使其各根分别为方程32322110xxx各根的倒数减2。解：令12yx，即12xy，代12xy入原方程得321113()2()2()110222yyy，去分母并整理得所求方程为321164126870yyy。10.设3210xx的三根为1x，2x，3x，作一方程使其根分别为12xx，23xx和31xx。泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解9解：由已知有123122331123021xxxxxxxxxxxx，设122331xxxxxx，从而有201，从而32()()()()()xxxxxx3221xx，故所求方程为32210xx。11.设方程32330xx的三根为1x，2x，3x，作一方程使其根分别为1123xxxx，2123xxxx，3123xxxx。解：由已知得1231xxx，11123112xxxxxx，22123212xxxxxx，33123312xxxxxx，令12xtx，则12txt，代12txt入原方程并化简得所求方程为3225271830ttt。12.设多项式4326732xxpxx能被2xxq整除，求p和q。解：令4322226732()(6)xxpxxxxqxtxq，展开上式右端后比较两端系数得方程组泽文教学记录《初等数学研究》第四章方程习题详解10672326ttqqqtqq，解之得，1171pq或22122pq。13.解下列方程：（1）3620xx；解：利用卡当方法求解，6,2pq，得323()()2223qqpu，31323324(cos120sin120)4(cos120sin120)uuiui，由23puv，则2vu，从而31323344(cos120sin120)4(cos120sin120)vvivi，故根据xuv，知原方程的根为33124x，3333213(42)(42)22xi，3333313(42)(42)22xi。（2）3233110xxx；