知识点14-万有引力与航天

2020/4/17•万有引力与航天2020/4/17研析考情知识概览考向定位本部分为近年高考热点，几乎每年必考，多以卫星模型出现，结合最新航天技术成果，重点考查万有引力定律、开普勒定律在圆周运动中的应用．应考策略解决这类问题，一是强调抓基本方法，牢牢把握卫星的向心力由万有引力提供；二是要从道理上明白卫星的运动过程，如卫星轨道半径、线速度、周期、动能如何变化，同步卫星有什么特点，宇宙速度的意义等.2020/4/17中心天体质量和密度的估算1.估算中心天体的质量和密度的常见思路(1)利用中心天体表面的重力加速度g和天体半径R，质量为m的物体在天体表面受到的重力近似等于万有引力，即GMmR2＝mg可得天体质量M＝gR2G，进而求得ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.2020/4/17(2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T，GMmr2＝m4π2T2r即M＝4π2r3GT2.若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r＝R，则ρ＝M43πR3＝3πGT2.2020/4/172．计算时应注意的问题(1)由于环绕天体的质量m被约分，因此不能求出它的质量和密度．(2)环绕天体的轨道半径r等于中心天体的半径R加上环绕天体离中心天体表面的高度h，即r＝R＋h.(3)当环绕天体在中心天体表面绕行时，轨道半径r＝R.2020/4/17(2013·北京四中模拟)已知下列数据：(1)地面附近物体的重力加速度g；(2)地球半径R；(3)月球与地球的两球心间的距离r；(4)卫星环绕地球运动的第一宇宙速度v1；(5)月球绕地球运动的周期T1；(6)地球绕太阳运动的周期T2；(7)万有引力常量G.试选取适当的数据估算地球的质量．(要求给出三种方法)2020/4/17【解析】方法一：根据万有引力定律，在地球表面附近有GM地mR2＝mg得：M地＝gR2G.方法二：在地球表面附近，根据万有引力提供向心力有GM地mR2＝mv21R得：M地＝v21RG.2020/4/17方法三：月球绕地球运动可近似看做是匀速圆周运动，根据万有引力定律有GM地mr2＝m4π2T21r得：M地＝4π2r3GT21.【答案】见解析2020/4/17求解天体运动问题的思路(1)在涉及星球做匀速圆周运动的问题时，先确定轨道平面、轨道半径，再应用万有引力提供向心力列方程：GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r(向心力的表达形式视条件和所求而定)——可称为“天上”公式．2020/4/17(2)在星球(半径R)表面附近，应用重力近似等于万有引力列方程：GMmR2＝mg——可称为“人间”公式(黄金代换公式)．这两个公式的组合可称为“天上人间”公式，它能解决绝大部分天体运动问题．2020/4/171．(2012·福建高考)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A.mv2GNB.mv4GNC.Nv2GmD.Nv4Gm2020/4/17【解析】设卫星的质量为m′由万有引力提供向心力，得GMm′R2＝m′v2R①m′v2R＝m′g②由已知条件：m的重力为N得N＝mg③由③得g＝Nm，代入②得：R＝mv2N代入①得M＝mv4GN，故A、C、D三项均错误，B项正确．【答案】B2020/4/172．(2013·大纲全国卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为()A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kg2020/4/17【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：GMmr2＝4π2mrT2，得M＝4π2r3GT2，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝7.4×1022kg，选项D正确．【答案】D2020/4/173．(2012·新课标全国高考)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－dRB．1＋dRC.R－dR2D．RR－d22020/4/17【解析】设地球的密度为ρ，地球的质量为M，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝GMR2.地球质量可表示为M＝43πR3ρ.因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝43π(R－d)3ρ，解得M′＝R－dR3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝GM′R－d2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g′g＝1－dR，选项A正确．【答案】A2020/4/17人造卫星问题和宇宙速度1.人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受的万有引力完全提供所需向心力，即F引＝F向，即GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r＝man，可推导出：v＝GMrω＝GMr3T＝2πr3GMan＝GMr2⇒当r增大时v减小ω减小T增大an减小2020/4/172．同步卫星(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．(2)由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)可知，同步卫星都在赤道上空相同的高度上．所有地球同步卫星r、v、ω、T、a大小均相同．2020/4/173．宇宙速度2020/4/17(2013·太原模拟)随着世界航天事业的发展，深空探测已逐渐成为各国关注的热点．现假设：深空中有一颗外星球，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的一半．则下列判断正确的是()A．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期B．绕该外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度相同2020/4/17C．某物体在该外星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的4倍D．该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍【解析】设同步卫星的周期为T，离外星球表面的高度为h，外星球的质量为M，半径为R，由牛顿第二定律可得GMmR＋h2＝m(R＋h)(2πT)2，解得T＝2π(R＋h)R＋hGM，由于不知道该外星球的同步卫星的高度和地球同步卫星的高度之间的大小关系，所以不能确定该外星球的同步卫星周期和地球同步卫星周期之间的关系，选项A错误；2020/4/17设外星球的人造卫星的环绕速度为v，则GMmr2＝mv2r，解得v＝GMr，因外星球质量是地球质量的2倍，所以绕该外星球的人造卫星的运行速度大于以相同轨道半径绕地球的人造卫星的运行速度，选项B错误；物体在外星球表面上所受的重力等于外星球对它的万有引力大小，即mg＝GMmR2，因外星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的一半，因此某物体在该外星球表面上所受重力应是在地球表面上所受重力的8倍，选项C错误；2020/4/17第一宇宙速度v＝GMR，因此，该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍，选项D正确．【答案】D2020/4/17解答该类问题的关键是：(1)根据GMmr2＝F向，推导记忆v＝GMr，ω＝GMr3，T＝4π2r3GM，a＝GMr2等公式．(2)理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值单位．(3)灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的区别联系．2020/4/171．2013年6月13日，“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器自动交会对接，“神舟十号”与“天宫一号”对接前按如图2－2－1所示的轨道示意图运行，下列说法中正确的是()图2－2－12020/4/17A．“神舟十号”的加速度比“天宫一号”小B．“神舟十号”运行的速率比“天宫一号”小C．“神舟十号”运行的周期比“天宫一号”长D．“神舟十号”运行的角速度比“天宫一号”大【解析】由题图可知：“天宫一号”和“神舟十号”都在围绕地球做匀速圆周运动，且“天宫一号”比“神舟十号”的轨道半径大．由万有引力公式和向心力公式可得：GMmr2＝ma＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，故卫星的轨道半径越大，其向心加速度、速率、角速度均越小，其周期越长，A、B、C错误，D正确．【答案】D2020/4/172．中国第三颗绕月探测卫星——“嫦娥三号”计划于2013年下半年发射，“嫦娥三号”卫星将实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新．假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1，登陆舱随后脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则下列有关说法正确的是()A．月球的质量M＝4π2r1GT21B．登陆舱在半径为r2轨道上的周期T2＝r32r31T12020/4/17C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上的速度比为m1r2m2r1D．月球表面的重力加速度g月＝4π2r1T212020/4/17【解析】根据GMm1r21＝m1r1·4π2T2可得，月球的质量M＝4π2r31GT21，A错；根据开普勒第三定律T1T2＝(r1r2)可得，T2＝r32r31T1，B对；根据GMm1r21＝m1v21r1可得，v1＝GMr1，同理v2＝GMr2，所以v1v2＝r2r1，C错；根据m1r1·4π2T2＝m1a1可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度a1＝4π2r1T21，该加速度不等于星球表面的重力加速度，D错．【答案】B2020/4/17航天器的变轨问题1.提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力，F供＝GMmr2，天体做圆周运动需要的向心力是F需＝mv2r.当F供＝F需时，天体在圆轨道上正常运行；当F供＞F需时，天体做近心运动；当F供＜F需时，天体做离心运动．2．对航天器的变轨问题，要抓住其在确定轨道上运行时机械能守恒，在不同轨道上运行时其机械能不同，轨道半径越大机械能越大．3．航天器经过同一点的加速度大小如何变化，可根据所受万有引力的大小来确定．2020/4/17(2013·兰州一中模拟)近期我国发射了一颗“北斗”二代卫星，假设发射过程要经过两次变轨，从如图2－2－2所示的近地轨道1经椭圆转移轨道2到达工作轨道3，P、Q两点均可近似认为是两圆弧的切点(r3＞r2＞r1，其中r1为圆轨道1的半径，r2为椭圆轨道2的半长轴，r3为圆轨道3的半径)，则下列关于卫星有关量的推理及结论正确的是()图2－2－22020/4/17A．由GMmr2＝ma可知在切点P处，卫星在1、2轨道上的加速度a相同B．由a＝v2r且在P点r2＞r1及v2＜v1，可知加速度a1＞a2C．由a＝v2r推出v＝ar，且在Q点a3＝a2及r3＝r2，可知v3＝v2D．由GMmr2＝mv2r且在Q点有r3＞r2，可知v3＜v22020/4/17【解题指导】1．信息提取(1)近地轨道1，转移轨道2，工作轨道3.(2)轨道1、2的切点P，轨道2、3的切点Q.(3)r3＞r2＞r1，其中r1、r3分别是圆轨道1、3的半径，r2是椭圆轨道2的半长轴．2020/4/172．破题技巧(1)不同轨道上加速度的判断，只对比卫星到地球中心的距离，距离越小加速度越大．(2)圆周运动速度的对比可以依据轨道半径的大小，轨道半径越大，速度越小．(3)椭圆轨道上速度的对比，可按离心运动或近心运动判断，离心运动速度大于圆周运动速度，近心运动速度小于圆周运动速度．2020/4/17【规范解答】根据牛顿第二定律，卫星的加速度取决于其受到的万有引力，由GMmr2＝ma知，在P点a1＝a2，在Q点a2＝a3，A项正确；GMmr2＝mv2r是物体做圆周运动的条件，只适用于圆周运动，故D项错误；在P点由近地圆轨道1变轨到椭圆轨道2必须加速，即v2＞v1，所以B项中“v2＜v1”的假设错误，B