知识讲解-空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系【考纲要求】（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【知识网络】【考点梳理】考点一、平面的基本性质1、平面的基本性质的应用（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。3、公理2的推论：（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。4、点共线、线共点、点线共面空间点线面位置关系三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念垂直斜交空间直线与平面空间两个平面两个平面平行两个平面相交三垂线定理直线与平面所成的角（1）点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。（2）线共点问题证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。要点诠释：证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。考点二、直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.②范围：02，要点诠释：证明两直线为异面直线的方法：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：考点三、直线和平面、两个平面的位置关系1、直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aaA//a图形表示2、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行//0两平面相交斜交a有无数个公共点在一条直线上垂直a有无数个公共点在一条直线上考点四、平行公理、等角定理平行于同一条直线的两条直线互相平行。（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。要点诠释：（1）以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力；（2）通过判断位置关系，考查空间想象能力；（3）应用公理、定理证明点共线、线共面等问题；（4）多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中。【典型例题】类型一、异面直线的判定例1如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点。问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由。【解析】（1）不是异面直线。理由：连接MN、A1C1、AC。∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN//A1C1，又∵A1ACC1，∴A1ACC1为平行四边形。∴A1C1//AC，得到MN//AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线。（2）是异面直线。证明如下：∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面。假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾。∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线。【点评】（1）易证MN//AC，∴AM与CN不异面。（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法。举一反三：【变式】已知E，F分别是正方体1111ABCDABCD的棱1AA和棱1CC上的点，且1AECF，求证：四边形1EBFD是平行四边形【证明】由1AECF可以证得ABE≌11CDF所以1BEDF又可以由正方体的性质证明1//BEDF所以四边形1EBFD是平行四边形类型二、平面的基本性质及平行公理的应用例2如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=900，BC1//2AD，BE1//2FA，G、H分别为FA、FD的中点。（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？【解析】（1）11,,//.//,//,22FGGAFHHDGHADBCADGHBCBCHG由已知可得又四边形为平行四边形。（2）方法一：1//,//,2//.(1)//,//,,BEAFGFABEFGBEFGEFBGBGCHEFCHEFCHDFHC为中点知，四边形为平行四边形，由知与共面.又、D、F、E四点共面.方法二：如图，延长FE，DC分别与AB交于点M，'M，∵BE1//2AF，∴B为MA中点。∵BC1//2AD，∴B为'MA中点，∴M与'M重合，即FE与DC交于点M（'M），∴C、D、F、E四点共面。【点评】（1）G、H为中点GH1//2AD，又BC1//2ADGH//BC；（2）方法一：证明D点在EF、GJ确定的平面内。方法二：延长FE、DC分别与AB交于M，'M，可证M与'M重合，从而FE与DC相交。类型三、异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，AB=CD且AB与CD所成的角为300，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小。【答案】取AC的中点G，连接EG、FG，则EG//AB，GF//CD，且由AB=CD知EG=FG，∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠ＥＧＦ（或它的补角）为ＡＢ与ＣＤ所成的角。∵ＡＢ与CD所成的角为300，∴∠ＥＧＦ=300或1500。由EG=FG知ΔEFG为等腰三角形，当∠ＥＧＦ=300时，∠GEF=750；当∠ＥＧＦ=1500时，∠GEF=150。故EF与AB所成的角为150或750。【解析】要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线。取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解。【点评】（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；（2）求异面直线所成角的步骤：①作：通过作平行线，得到相交直线；②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；③求：通过解三角形，求出该角。类型四、点共线、线共点、线共面问题例4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．求证：点C1、O、M共线．【证明】A1A∥CC1确定平面A1CA1C面A1CO∈面A1CO∈A1C面BC1D∩直线A1C＝OO∈面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上∴C1、O、M共线举一反三：【变式】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K。求证：M、N、K三点共线。【证明】因为M∈PQ平面PQR，M∈BC平面BCD，又因为M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上。同理可证：N、K也在l上，所以M、N、K三点共线。CODABMB1C1D1A1