数值分析(计算方法)期末试卷及参考答案

专业、班级姓名学号------------------------------密-----------------------------封---------------------------线------------------------一填空(每空3分，共30分)1.在一些数值计算中，对数据只能取有限位表示，如21.414，这时所产生的误差称为。2.设76()1fxxx，01[3,3]f，017[3,3,,3]f，018[3,3,,3]f。3.5个节点的牛顿-柯特斯公式代数精度是。4.求方程2cosxx根的Newton迭代格式为。5.设(1,3,0,2)，则1，，2；设4152A，则A。江西理工大学大学2013至2014学年第一学期试卷课程数值分析年级、专业试卷︵B︶第1页︵共3页︶江西理工大学大学教务处题号一二三四五六七八九十总分得分二计算1.给定数据表：（15分）ix12)(ixf23'()ifx0(1)构造Hermit插值多项式2()Hx，并计算(1.5)f。(2)写出其插值余项，并证明之。专业、班级姓名学号--------------------------密-------------------------封------------------------------线------------------------------------试卷︵B︶第2页︵共3页︶江西理工大学大学教务处4．用Euler方法求解初值问题'(0)0yxyy取0.1h在区间[0,0.3]计算,结果保留到小数点后4位。(10分）2.已知方程2ln40xx，取01.5x，用牛顿迭代法求解该方程的根，要求31110kkxx时停止迭代。（10分）3.确定求积公式110()(0)()(1)fxdxAfBfxCf中的待定参数1,,,ABCx，使其代数精度尽可能高，并指出其代数精度。（15分）专业、班级姓名学号----------------------------密-------------------------封------------------------------线------------------------------------试卷︵B︶第3页︵共3页︶江西理工大学教务处三．证明（10分）试证明线性二步法：111111[(,)(,)]nnnnnnyyhfxyfxy的局部截断误差与3h同阶，并求出截断误差的首项。5.用LU分解法解线性方程组（10分）123123142521831520xxx标准答案一．填空1.舍入误差2.729，1，03.54.21cos2sinkkkkkkxxxxxx5.6，3，14,9二．计算1.构造重节点的差商表：nxy一阶二阶012112022311所以，要求的Hermite插值为：222()2(1)23Hxxxx2(1.5)(1.5)2.25fH2.2()()(1)(2)3!fRxxx证明：由题意可知2()()()RxfxHx由插值条件知：(1)0,(1)0,(2)0,RRR所以，可设：2()()(1)(2)Rxkxxx（＃）构造函数：22()()()()(1)(2)tftHtkxtt易知：,1,2tx时，()0t，且(1)0()0t至少有一个根，即()0对（＃）式求三阶导，并代入得：()()3!fkx所以，2()()(1)(2)3!fRxxx2.解：设2()ln4,fxxx则1()2,fxxx牛顿迭代公式为：1()()kkkkfxxxfx2ln412kkkkkxxxxx325ln21kkkkkxxxxx将01.5x代入上式，得11.8667x，21.8412x，31.8411x3230.000110xx所以，方程的近似根为：31.8411x3.解：设()1fx时，左10()1fxdx，右ABC，左＝右得：1ABC()fxx时，左101()2fxdx，右1BxC，左＝右得：112BxC2()fxx时，左101()3fxdx，右21BxC，左＝右得：2113BxC3()fxx时，左101()4fxdx，右31BxC，左＝右得：3114BxC联立上述四个方程，解得：11211,,,6362ABCx4()fxx时，左101()5fxdx，右41425BxC，左右所以，该求积公式的代数精度是34.解：Euler公式是：100(,)()nnnnyyhfxyyxy具体到本题中，求解的Euler公式是：10.1()0.90.1(0)0nnnnnnyyxyyxy代入求解得：10y20.01y30.029y5.解，设A可以三解分解，即111213212223313233111uuuALUluullu由矩阵的乘法及矩阵相等可得：121351L，1231424U令,L,UxyAxbybUxy则可转化为两个等价的三角方程组：求解三角方程组：Lyb，得：(14,10,72)y求解三角方程组：Uxy，得：(1,2,3)x所以，原方程组的解为：(1,2,3)x三．证明证明：分别将1ny，1ny，1ny在nx处用Taylor公式展开得：2331()2!3!nnnnnyyyyyhhhoh221()2!nnnnyyyyhhoh221()2!nnnnyyyyhhoh将以上三式代入线性二步法中，得：23315()2!6nnnnnyyyyyhhhoh又方程的真解的Taylor展式为：2331()()()()()()2!3!nnnnnyxyxyxyxyxhhhoh所以，局部截断误差为：331112()()3nnnnTyxyyhoh所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：323nyh