全等三角形常见辅助线

全等三角形中的辅助线第1页，共26页一、全等三角形常见辅助线中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系．3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系．截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线图①EDCBA图②FABCDEDCBA图③EDCBA图④图⑤MDCBA全等三角形中的辅助线知识点全等三角形中的辅助线第2页，共26页段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．一、单选题1、（2014初一下期末人大附中）已知△ABC中，5AB，7AC，则BC边上的中线a的取值范围是（）A．16aB．57aC．212aD．1014a【答案】A【解析】该题考查的是添加辅助线构造全等三角形．延长AE到D，使AEDE，连接BD，∵AE是中线，∴BECE，AECDEB，∴△AEC≌△DEB（SAS），∴7BDAC，又∵AEa，∴2212a，∴16a，故答案是A．二、解答题2、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作60DMN，ABCED例题全等三角形中的辅助线第3页，共26页射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?【答案】见解析．【解析】猜测DMMN．过点M作MGBD∥交AD于点G，AGAM，∴GDMB又∵120ADMDMA∠，120DMANMB∠∠∴ADMNMB∠∠，而120DGMMBN∠∠，∴DGMMBN≌，∴DMMN．3、已知：如图，△ABC中，ABAC，BD平分∠ABC，BC上有动点P．（1）DP⊥BC时（如图1），求证：BPDCCP；（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？【答案】（1）见解析（2）BDCDCP【解析】NEBMADGNEBMAD全等三角形中的辅助线第4页，共26页（1）证明：在BP上截取PMPC，连接DM，∵DP⊥BC，∴DMDC，∴CDMC，∵ABAC，∴ABCCDMP，∵BD平分∠ABC，∴2ABCDBCC，∴2DMCDBC，∵DMCDBCBDM，∴DBCMDB，∴DMBMDC，∴BPBMPMDCCP．（2）解：BDCDCP，理由是：在BD上截取DMDC，连接PM，∵DP平分∠BDC，∴MDPCDP，在△MDP和△CDP中DMDCMDPCDPDPDP∴△MDP≌△CDP（SAS），∴CPMP，CDMP，∵2CABCDBC，∴2DMPDBCDBCMPB，∴DBCMPB，∴BMMPCP，∴BDCDCP．全等三角形中的辅助线第5页，共26页4、已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAECDE．求证：ABCD．【答案】见解析．【解析】延长DE到F，使EFDE，连接BF，∵E是BC的中点，∴BECE，∵在△BEF和△CED中BECEBEFCEDEFDE∴△BEF≌△CED．∴FCDE，BFCD．∵BAECDE，∴BAEF．∴ABBF，又∵BFCD，∴ABCD．5、已知等腰ABC，100A，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．全等三角形中的辅助线第6页，共26页【答案】见解析【解析】如图，在BC上截取BEBD，连接DE，过D作DFBC∥，交AB于F，于是32，ADFECD．又∵12，∴13，故DFBF．显然FBCD是等腰梯形．∴BFDC，DFDC．∵111218010020222ABC，11802802BEDBDE，∴180100DECBED，∴100FADDEC，∴AFDEDC≌，ADEC．又∵BEBD，∴BCBDECBDAD．6、如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．【答案】ABCD321FEDCBAFEDCBA全等三角形中的辅助线第7页，共26页见解析【解析】延长AD到G，使DGAD，连结BG∵BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB≌，∴ACGB．GEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED，∴BEBG，∴BEAC．7、如图，在△ABC中，ABAC，D是三角形外一点，且60ABD，BDDCAB．求证：60ACD【答案】见解析【解析】延长BD至E，使CDDE，连接AE，AD，∵BDCDAB，BEBDDE，∴BEAB，∵60ABD，∴△ABE是等边三角形，∴AEABAC，60E，在△ACD和△ADE中，ACAECDDEADAD，GFEDCBA全等三角形中的辅助线第8页，共26页∴△ACD≌△ADE（SSS），∴60ACDE．8、如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②90BAC（如图）（3）如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．【答案】见解析【解析】（1）分三种情况；全等三角形中的辅助线第9页，共26页当90BAC，M是BC的中点∴2BCAMBMMC，90EADBAC，AEAB，ACAD∴△ABC≌△AED∴EDBC∴2EDAM同理当90BAC，易得2EDAM当90BAC，易得2EDAM（2）已知（1）的结论，若90BAC，可得2EDAM（3）结合上题可得：2AMDE延长CA到F使AFAC，连接BF易证△ABF≌△ADE∴BFDE∵2AMBF，∴2AMDE．9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：//AMDN，AE、DE分别平分MAD和AND，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：_________.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.【答案】（1）ADABCD（2）见解析（3）见解析【解析】全等三角形中的辅助线第10页，共26页该题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质．（1）ADABCD（2）在AD上截取AFAB，连结EF，∵AE平分BAD，∴BAEFAE在△ABE和△AFE中，ABAF，BAEFAE，AEAE，∴△ABE≌△AFE，∴ABCAFE∵AB//CD，∴180ABCBCD又∵180AFEDFE∴DFEBCD∵DE平分ADC，∴ADECDE在△FED和△CED中，DFEDCEADECDEDEDE∴△FED≌△CDE，∴DFCD∴AFDFABCD即ADABCD（3）第一种情况，当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DCADAB在CD上截取DFAD，连结EF，∵DE平分ADC∴ADECDE在△ADE和△FDE中，全等三角形中的辅助线第11页，共26页DADFADECDEDEDE∴△ADE≌△FDE∴EAEF，DAEDFE∵AE平分DAM，∴DAEEAM∴DFEEAM又∵180BAEEAM，180DFECFE，∴BAECFE∵AM∥DN，∴ABCBCD在△BAE和△CFE中，BAECFEABCBCDEAEF△BAE≌△CFE∴ABFC∵DCDFFC，∴DCADAB第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，ABADCD在AB上截取AFAD，连结EF∵AE平分BAD，∴BAEDAE在△ADE和△AEF中，AFADBAEDAEAEAE∴△AEF≌△AED∴EFED，∴AFEADE∵DE平分ADN，∴ADEEDN，∴AFEEDN又∵180AFEBFE，180EDNEDC，∴BFEEDC∵AM//DN，∴ABCBCD在△BEF和△CED中，全等三角形中的辅助线第12页，共26页BFEEDCABCBCDDEEF∴△BFE≌△CED∴CDBF∵ABAFFB，∴ABADCD10、（2014初二上期末石景山区）如图1，在△ABC中，2ACBB，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：BNCD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．【答案】（1）见解析（2）2CDCE（3）当点M在线段BC上时，CDBNCE；当点M在BC的延长线上时，CDBNCE；当点M在CB的延长线上时，CDCEBN【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质．（1）证明：连接ND．∵AO平分∠BAC，∴12，∵直线l⊥AO于H，∴4590，∴67，全等三角形中的辅助线第13页，共26页∴ANAC，∴NHCH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DNDC，∴89．∴ANDACB，∵3ANDB，2ACBB，∴3B，∴BNDN．∴BNDC；（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为2CDCE证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．由（1）可得BNCD，ANAC，ANAC．∴43，NNCE．过点C作CG∥AB交直线l于G．∴42，1B．∴23．∴CGCE．∵M是BC中点，∴BMCM在△BNM和△CGM中，1BBMCMNMBGMC∴△BNM≌△CGM．（ASA）∴BNCE．∴2CDBNNNBNCE．（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CDBNCE；当点M在BC的延长线上时，CDBNCE；当点M在CB的延长线上时，CDCEBN．11、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，ABAC，60BAC，120BPC，求证：PBPCPA．全等三角形中的辅助线第14页，共26页（2）如图，四边形ABCD中，ABBC，60A