第三章_多维随机变量及其分布_习题)

1习题三一、填空题1.设YX与两随机变量,且），00(YXP=740,740(73）（），YPXP,则）），（0(maxYXP5/7.2.设二维随机变量(,)XY的联合概率分布为YX123101611221616163112160则关于X的边缘分布律为.3．若），（YX的联合分布律为XY123121/61/31/91/18,应满足条件是31.若YX与相互独立则=2/9,=1/9；4.设YX与独立同分布,且X的分布律为5.0)1(,5.0)0(XPXP,则随机变量},max{YXZ的分布律为P(Z=0)=0.25,P(Z=1)=0.75；5.设二维随机变量(,)XY的联合概率密度为101,01,0xyfxy其他则概率0.5,0.6PXY=____0.3____。6.设(YX,)联合概率密度为其他,00,,),()32(yxAeyxfyx则系数A=6；7.设二维随机变量(,)XY的联合概率密度为22,1,,0,.cxyxyfxy其它，则c=21/4。8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为X12311/41/21/42其它00,10)2(8.4),(xyxxyyxf则关于X的边缘概率密度是其它010)2(4.2)2(8.4)(02xxxdyxyxfxX.9.设随机变量X和Y相互独立，且X在区间0,2上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则1PXY112e.10.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则max{,}1PXY=1/9.11.若22112212~(,),~(,),,XNYNkXkY相互独立服从分布为122221122122(,)Nkkkk.12．已知12,,,nXXX独立且服从于相同的分布函数()Fx，若令max(12,,,)nXXX，则()=Fx的分布函数()nFx.二、选择题1.设随机变量(,)XY的分布函数为(,)Fxy，其边缘分布函数()XFx是（B）Alim(,);Blim(,);C(,0);D(0,).yyFxyFxyFxFx2.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则（A）（A）1{,},,1,2,636PXiYjij.（B）361}{YXP.（C）21}{YXP.（D）21}{YXP.3．设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为X-11Y-11p1/21/2p1/21/2则下列各式正确的是（C）（A）X=Y.（B）P{X=Y}=0.(C)P{X=Y}=1/2.(D)P{X=Y}=1.4.设（X，Y）的联合概率密度函数为其他，yxyxyxf010,10,6),(2,则下列结论中错误的是（B）.3（A）{(,)}(,)GPXYGfxydxdy.（B）2{(,)}6GPXYGxydxdy.（C）1200{}6xPXYdxxydy.（D）yxdxdyyxfYXP),()}{(.5.设二维随机变量,XY的联合概率密度为221/,1,0,xyfxy其它，则X,Y满足（C）（A）独立同分布.（B）独立不同分布.（C）不独立同分布.（D）不独立也不同分布.6.设随机变量XY与相互独立，且分别服从0,1N和1,1N，则（B）（A）1(0)2PXY.（B）1(1)2PXY.（C）1(0)2PXY.（D）1(1)2PXY.7.设X与Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为,XYFxFy，则min(,)ZXY的分布函数为（D）（A）ZXFzFx.（B）ZYFzFy.（C）min,ZXYFzFxFy.（D）111ZXYFzFxFy.8.若),(~),,(~222211NYNX,且X与Y相互独立,则（C）（A）))(,(~22121NYX.（B）),(~222121NYX.（C）)4,2(~2222121NYX.（D）)2,2(~2222121NYX.9.已知~(3,1)XN，~(2,1)YN，且,XY相互独立,记27,ZXY~Z则（A）（A）)5,0(N.（B）)12,0(N.（C）)54,0(N.（D）)2,1(N.10.设12,,,nXXX相独立且都服从),(2N,则下式成立的是（B）（A）12nXXX.（B）2121()~(,)nXXXNnn.（C）)34,32(~3221NX.（D）),0(~222121NXX.4三、计算下列各题1.一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以YX和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出YX和的联合概率分布律。解.,.6610)0,1(,6645)0,0(1111121101211111219110CCCCYXPCCCCYXP661)1,1(,6610)1,0(111112111211111212110CCCCYXPCCCCYXP2.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，求（1）二维随机变量,XY的联合概率分布律;（2）X，Y的边缘分布律。解：（1）X，Y的取值范围为0,1,2，故113311661110,0,1,0,2,0,4636110,1,1,1,2,10,3910,2,1,20,2,20,9CCPXYPXYPXYCCPXYPXYPXYPXYPXYPXYXY01201/41/61/3611/31/9021/900（2）X012Y012P25/365/181/36P4/94/91/93.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）),(YX的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。解：由题意,,1,2,3,4,,XiYjijij其中为整数，则由概率的乘法公式有111,,1,2,3,4,.44PXiYjPXiPYjXiijiii因此XY1234jp11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/4853001/121/167/4840001/163/48ip1/41/41/41/414.已知随机变量YX,的概率分布：X101Y01P1/41/21/4P1/21/2且(0)1PXY.（1）求YX,的联合分布，（2）问YX,是否独立？为什么？.解(0)1,,(1,1)(1,1)0,PXYPXYPXY因为所以有（1）设YX,的联合分布为05.05.0,5.0,5.0,25.0,25.0212221223111pppppp故由于则的联合分布律为因此),(,YX21(2)00.50.5,.pXY由于故与不相互独立5.假设随机变量X和Y相互独立，都服从同一分布：X012Y012P1/41/21/4P1/41/21/4求概率{}PXY．解注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及X和Y相互独立，可见222{}{0,0}{1,1}{2,2}{0}{0}{1}{1}{2}{2}111924216PXYPXYPXYPXYPXPYPXPYPXPY．6.设随机变量(YX,)的联合密度为YX-101P．j0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41YX-10101/401/4101/2066,02,240,kxyxyfxy（，）其它，求：（1）系数k；（2）1,3PXY；（3）4PXY。解：（1）42201(,)(6)81.8fxydxdydykxydxkk（2）3120131,3(6).88PXYdyxydx（3）4PXY=442012(6).83ydyxydx7.设二维随机变量),(YX的概率密度为其它，,00),(yxAeyxfy，求（1）常数A（2）随机变量YX,的边缘密度，（3）概率)1(YXP。解（1）1,),0AAdyedxAdxdyyxfxy得（.0,00,)(,)(,02xxexfedyexfxxXxxyX）（，0,00,)(yyyeyfyY同理(3)2111210121),()1(eedyedxdxdyyxfYXPxxyyx.8.假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间X和Y是随机变量，其联合分布函数为0.010.010.01()1eee00(,)0xyxyxyFxy，若，，，若不然．(1)求两个中间站连续100小时无故障的概率；(2)证明X和Y相互独立．解(1)连续100小时无故障的概率11212{100,100}1(100,)(,100)(100,100)1eee12ee0.1353PXyFFF．(2)现在证明X和Y相互独立．以)(1xF和)(2yF分别表示X和Y的分布函数，则0.0110.012()(,)1e()(,)1exyFxFxFyFy，；由于)()(),(21yFxFyxF，可见X和Y相互独立．79.设二维随机变量),(YX的概率密度为21,01,02,,30,.xxyxyfxy其它求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2）1PXY。解：（1）222012,01201,330,0,Xxxydyxxxxfxfxydy，其它其它12011,0202,3630,0,Yyxxydxyyfyfxydx，其它其它由于(,)()(),.XYfxyfxfyXY所以和不独立（2）112001651,1.372xDPXYfxydxdydxxxydy9.雷达的圆形屏幕的半径为R，设目标出现点),(YX在屏幕上均匀分布，（1）求YX,的边缘概率密度，（2）问YX,是否独立？其它解,0),/(1),(2222RyxRyxf2222222222212,||(1)()(,)0,2,||()0,RxRxXYRxdyxRfxfxydyRRRxyRfyR其它同理其它.),()(),()2(不独立和所以YXyfxfyxfYX10.设两个独立随机变量YX与的分布律为6.0)2(,7.0)3(,3.0)1(YPXPXP,,4.0)4(YP求YXZ）（1的分布律，YXW）（2的分布律.解由独立性可得（YX,）（1，2）（1，4）（3，2）（3，4）),(yYxXP0.180.120.420.288YX3557YX–1–31–1所以YXZ的分布律与YXW的分布律分别为Z357W–31–1P0.180.540