含参一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式的解法温县第一高级中学数学组任利民解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.一、根据二次不等式所对应方程的根的大小分类例1解关于x的不等式2(1)0xxaa.分析：原不等式等价于()(1)0xaxa，所对应方程的两根是xa或1xa.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a与1a的大小关系.这样就容易将a分成111,,222aaa这三类.解：原不等式等价于()(1)0xaxa，所对应方程的两根是xa或1xa.当12a时，有1aa，所以不等式的解集为{xxa或1}xa.当12a时，有1aa，所以不等式的解集为{xxR且1}2x当12a时，有1aa，所以不等式的解集为{1xxa或}xa.【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.二、根据判别式的符号分类例2解关于x的不等式2220xax.分析：设2()22fxxax，欲确定()0fx的根的情况，需讨论0,0,0三种情况，由此来确定()fx的图像，并最终确定不等式的解集.解：不等式所对应方程的判别式216a①当0，即4a或4a时，原不等式所对应方程的两根为:2164aax或2164aax,原不等式的解集为216{4aaxx或216}4aax②当0，得4a.当4a时,原不等式的解集为{xxR且1}x.当4a时,原不等式的解集为{xxR且1}x.③当0，即44a时,原不等式的解集为R.【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a讨论时，4的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.三、根据二次项系数的符号分类例3解关于x的不等式220axxa.分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a时，是一次不等式；0a时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号解：①当0a时,原不等式的解集为{0}xx.当0a时,原不等式所对应方程的判别式244a.②当0a时,0，即01a时,原不等式的解集为221111{}aaxxaa.当0，即1a时，原不等式的解集为.当0，即1a时，原不等式的解集为.③当0a时,0，即10a时,原不等式的解集为211{axxa或211}axa当0，即1a时，原不等式的解集为{1}xx.当0，即1a时，原不等式的解集为R.【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a或0a时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.