必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

1平面向量的实际背景及基本概念[学习目标]1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c，…，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用a→，b→，c→)．(3)向量AB→的大小：也就是向量AB→的长度(或称模)，即有向线段AB→的长度，记作|AB→|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a平行于b，记作a∥b.②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考向量平行具备传递性吗？答案向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c，这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c.因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一向量的基本概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有AB→＝DC→；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②AB→＝DC→，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．跟踪训练1下列说法正确的有________．(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；(3)向量AB→与BA→是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．3答案(3)解析(1)错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB→、CD→必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB→和BA→是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二向量的表示及应用例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.解(1)向量AB→、BC→、CD→如图所示．(2)由题意，易知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，又|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形．∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略)．4题型三平行向量与共线向量例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，所以EF綊12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有：DB→与CD→.跟踪训练3如图，已知四边形ABCD为▱ABCD，则(1)与OA→的模相等的向量有多少个？(2)与OA→的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB→共线的向量．解(1)与OA→的模相等的向量有AO→，OC→，CO→三个向量．(2)与OA→的模相等且方向相反的向量为OC→，AO→.(3)与AB→共线的向量有DC→，CD→，BA→.5对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1B．2C．3D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案A1．下列说法错误的是()A．若a＝0，则|a|＝0B．零向量是没有方向的C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是()A．若|a||b|，则abB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a与b共线D．若a≠b，则a一定不与b共线3．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB→与DC→的关系是()A.AB→＝DC→B．|AB→|＝|DC→|C.AB→DC→D.AB→DC→64.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF→、AE→相等的向量；(2)写出与AD→模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M分别是AD，BC上的点且CN→＝MA→，求证：四边形DNBM是平行四边形．7一、选择题1．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b|B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝02．下列说法正确的是()A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反B．若a∥b，b∥c，则a∥cC．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D．若a＝b，b＝c，则a＝c3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立4．如图，在四边形ABCD中，若AB→＝DC→，则图中相等的向量是()A.AD→与CB→B.OB→与OD→C.AC→与BD→D.AO→与OC→5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是()A．①④B．③C．①②③D．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为()①若向量a与b同向，且|a||b|，则ab；②若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．A．1B．2C．3D．4二、填空题7．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．8．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)89．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)画出AD→，DC→，CB→，AB→；(2)求B地相对于A地的位置向量．12．如图，已知AA′—→＝BB′—→＝CC′—→.求证：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)AB→＝A′B′——→，AC→＝A′C′———→.13．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO→，BO→相等的向量；(2)找出与AO→共线的向量；(3)找出与AO→模相等的向量；(4)向量AO→与CO→是否相等？9当堂检测答案1．答案B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．2．答案C解析A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a||b|，但a与b的方向不确定，不能说ab，A不正确；同理B错误；D中，a≠b，a可与b共线．故选C.3．答案B解析|AB→|与|DC→|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解(1)AF→＝BE→＝CD→，AE→＝BD→.(2)DA→，CF→，FC→.5．证明∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD，BC平行且相等．又∵CN→＝MA→，∴四边形CNAM为平行四边形，∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，∴四边形DNBM是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案D2．答案D3．答案C解析当b＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案D解析∵AB→＝DC→，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴AO→＝OC→.5．答案B解析a为任一非零向量，故|a|＞0.6．答案C解析①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．10二、填空题7．答案零向量8．答案①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定