北师大版高中数学(必修5)单元测试-第二章解三角形

1单元综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于()A.63B.62C.12D.32解析：∵A＝180°－B－C＝75°，∴B最小，∴边b最短．由正弦定理得b＝csinBsinC＝63，故选A.答案：A2．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：只要求出边长为7的边所对的角α，由余弦定理，cosα＝52＋82－722×5×8＝12，∴α＝60°，∴最大角与最小角之和为120°，故选B.答案：B3．在△ABC中，acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC一定是()A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C，∴△ABC是等边三角形，故选D.答案：D4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c，又B＝60°，∴△ABC是等边三角形，故选D.2答案：D5．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC()A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定解析：∵64·32，∴无解，故选C.答案：C6．在△ABC中，b＝8，c＝83，S△ABC＝163，则A等于()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵S△ABC＝12bcsinA，∴sinA＝2S△ABCbc＝12，∴∠A＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选C.答案：C7．在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则a＋b－csinA＋sinB－sinC等于()A．2B.12C.3D.32解析：由正弦定理bsinB＝csinC＝asinA＝3sin60°＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，a＝2sinA，∴a＋b－csinA＋sinB－sinC＝2，故选A.答案：A8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：设两直角边分别为a，b，斜边为c，增加的长度为d(d0)，则a2＋b2＝c2.新三角形的三边分别为a＋d，b＋d，c＋d.设它们所对的角分别为A、B、C，则cosC＝a＋d2＋b＋d2－c＋d22a＋db＋d.∵(a＋d)2＋(b＋d)2－(c＋d)2＝d2＋2(a＋b－c)d0，∴cosC0，∴C为锐角．3cosA＝b＋d2＋c＋d2－a＋d22b＋dc＋d，∵(b＋d)2＋(c＋d)2－(a＋d)2＝2b2＋d2＋2(b＋c－a)d0，∴cosA0，∴A为锐角．同理，B为锐角，∴新三角形为锐角三角形，故选A.答案：A9．在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为()A．ABB．ABC．A≥BD．不能确定解析：由正弦定理asinA＝bsinB，∵sinAsinB0，∴ab，∴AB，故选A.答案：A10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝()A.14B.34C.24D.23解析：由a、b、c成等比数列，得b2＝ac，又c＝2a，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34，故选B.答案：B11．为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．20(1＋33)mB．20(1＋32)mC．20(1＋3)mD．30m解析：如图所示：由已知，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，∴BM＝20m.又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，4∴AM＝DMtan30°＝2033m，∴AB＝AM＋MB＝2033＋20＝20(1＋33)m，故选A.答案：A12．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(b＋a，c)，n＝(b－a，c－b)，若m⊥n，则sinB＋sinC的取值范围为()A．(12，1]B．(32，3]C．[12，1)D．[32，1)解析：由m⊥n可得(b＋a)(b－a)＋c(c－b)＝0，即b2＋c2－a2＝bc，利用余弦定理可得2cosA＝1，即cosA＝12⇒A＝π3，sinB＋sinC＝sinB＋sin(23π－B)＝32sinB＋32cosB＝3sin(B＋π6)，因为0B23π，所以π6B＋π656π，所以12sin(B＋π6)≤1，323sin(B＋π6)≤3，故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．(2010·北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝3，∠C＝2π3，则a＝________.分析：本题主要考查三角形知识．解析：由正弦定理可得bsinB＝csinC，∴sinB＝12，又∵bc，∴BC，∴∠B＝π6.∴∠A＝π－2π3－π6＝π6，∴∠A＝∠B.∴a＝b＝1.答案：114．在△ABC中，C＝60°，a、b、c分别为A、B、C的对边，则ab＋c＋ba＋c＝________.解析：由余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴a2＋b2＝c2＋ab，5∴ab＋c＋ba＋c＝a2＋ac＋b2＋bcb＋ca＋c＝c2＋ab＋ac＋bcab＋bc＋ac＋c2＝1.答案：115．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为，则这个三角形的面积为________．解析：设另两边分别为8t,5t(t0)，则由余弦定理得142＝(8t)2＋(5t)2－2·8t·5t·cos60°，∴t2＝4，∴t＝2，∴S△ABC＝12×16×10×32＝403.答案：40316．(2009·全国卷Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac，则角B等于________．解析：由cos(A－C)＋cosB＝32及B＝π－(A＋C)得cos(A－C)－cos(A＋C)＝32，cosAcosC＋sinAsinC－(cosAcosC－sinAsinC)＝32，sinAsinC＝34.又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.又由b2＝ac知b≤a或b≤c，所以B＝π3.答案：π3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△ABC.解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝(33)2＋22－2·33·2·(－32)＝49.∴b＝7，S△ABC＝12acsinB＝12×33×2×12＝332.18．(12分)在△ABC中，设tanAtanB＝2c－bb，求A的值．解析：∵tanAtanB＝2c－bb，根据正弦定理6∴sinAcosBsinBcosA＝2sinC－sinBsinB，∴sinAcosB＝2sinCcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，∴sin(A＋B)＝2sinCcosA，∴sinC＝2sinCcosA⇒cosA＝12⇒A＝60°.19．(12分)在△ABC中，已知c＝10，又知cosAcosB＝ba＝43，求边a、b的长．解析：由cosAcosB＝ba，sinBsinA＝ba，可得cosAcosB＝sinBsinA，变形为sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，又∵a≠b，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由a2＋b2＝102和ba＝43，解得a＝6，b＝8.20．(12分)在△ABC中，已知2a＝b＋c，sin2A＝sinBsinC，试判断△ABC的形状．解析：由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R，所以由sin2A＝sinBsinC可得(a2R)2＝b2R·c2R，即a2＝bc.又已知2a＝b＋c，所以4a2＝(b＋c)2，所以4bc＝(b＋c)2，即(b－c)2＝0，因而b＝c，故由2a＝b＋c得2a＝b＋b＝2b，a＝b，所以a＝b＝c，△ABC为等边三角形．21．(12分)已知∠MON＝60°，Q是∠MON内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求OQ的长．解析：如图所示，作QA⊥OM于A，QB⊥ON于B，则QA＝2，QB＝11，并且O、A、Q、B都在以OQ为直径的圆上，因为∠AOB＝60°，所以∠AQB＝120°.连结AB，在△AQB中，由余弦定理，7得：AB2＝AQ2＋BQ2－2AQ×BQ·cos∠AQB＝22＋112－2×2×11×(－12)＝147，所以AB＝73，在Rt△OBQ中，OQ＝OBsin∠OQB＝OBsin∠OAB(因为∠OQB和∠OAB为同一段弧所对的圆周角)．在△AOB中，OBsin∠OAB＝ABsin60°，所以OQ＝ABsin60°＝14.22．(12分)如图所示，A、B两个小岛相距21nmile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9nmile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6nmile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多长时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．解析：行驶th后，甲船行驶了9tnmile到达C处，乙船行驶了6tnmile到达D处，当9t21，即t73时，C在线段AB上，此时，BC＝21－9t.在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.因为当t＝2时，CD取得最小值189＝321；当t＝73时，C与B重合，此时CD＝6×73＝14321.当t73时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189189.综上可知t＝2时，CD取最小值321，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为321n8mile.