2011届高考数学二轮复习课件8.6 空间向量及其运算

§8.6空间向量及其运算要点梳理1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有和的量叫做空间向量.(2)相等向量：方向且模的向量.(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相于同一平面的向量.(4)共面向量：的向量.大小方向相同相等平行平行或重合基础知识自主学习2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：①其中a叫直线l的方向向量，t∈R,在l上取,则①可化为存在实数λ，使得a=λbtaOAOPaABOP.)1(OBtOAtOP或ABtOA（2）共面向量定理的向量表达式：p=，其中x,y∈R,a,b为不共线向量，推论的表达式为或对空间任意一点O有,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}，使得p=，把{a,b,c}叫做空间的一个基底.xa+ybMByMAxMPOPMByMAxOM,OBzOAyOMxOP或xa+yb+zc3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a，=b，则叫做向量a与b的夹角，记作,其范围是,若〈a,b〉=,则称a与b,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则叫做向量a,b的数量积,记作,即.OAOB∠AOB〈a,b〉0≤〈a,b〉≤π2π互相垂直|a||b|cos〈a,b〉a·ba·b=|a||b|cos〈a,b〉(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=；②交换律：a·b=;③分配律：a·（b+c）=.4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a·b=.（2）共线与垂直的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b,,,λ（a·b）b·aa·b+a·ca1b1+a2b2+a3b3a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3(λ∈R)a⊥b(a,b均为非零向量）.（3）模、夹角和距离公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则|a|=，cos〈a,b〉=.若A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则dAB==.a·b=0a1b1+a2b2+a3b3=0aa332221aaa||||baba232221232221332211bbbaaabababa||AB212212212)()()(ccbbaa基础自测1.下列命题中是真命题的是()A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反C.若向量，满足且与同向，则D.若两个非零向量与满足+=0，则∥ABCD|,|||CDABABCDABCDABCDABCDABCD解析A错.因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关.C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较,因此也就没有这种写法.D对.∵+=0,∴=-，∴与共线，故∥正确.答案DABCDABCDABCDABCDABCD2.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC的中点，设=a,=b,=c，则等于()解析OAOBOCMNcbacbacbacba213232.D213221.C212132.B322121.AOAOCOBOMONMN32)(21.322121acbB3.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若（其中x、y、z∈R）,则P、A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4BCAB;0DACDOCzOByOAxOP解析①中四点恰好围成一封闭图形，正确；②中当a、b同向时，应有|a|+|b|=|a+b|；③中a、b所在直线可能重合；④中需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面.答案C4.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面).解析=（3，4，5），=（1，2，2），=（9，14，16），即（9，14，16）=（3x+y，4x+2y，5x+2y），ABACAD.ACyABxAD设.,3,2四点共面所以、C、DA、yx共面B题型一空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）；（2）；（3）.根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可.【例1】1AAABADAPNA11NCAP思维启迪题型分类深度剖析解（1）∵P是C1D1的中点，.212121111111bcacaABCDADaPDDAAAAP.212121,)2(11cbababaADBCBNABAANABCN的中点是.232123)21()2121(,212121,2121)21(2121,)3(1111111cbacacbaaccbabcaaNCMPAAADAABCCCNCNCAPAAAPMAMPAAM又的中点是用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.探究提高知能迁移1如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点.(1)化简：;21211ADABOA,32,)2(11DDDEDDE且上的点是棱设.,1的值试求若z、x、AAzADyABxEO解,)1(ACADAB.21)(21212111111AAAOOAACOAADABOAADABOAy.32,21,21,322121212132)(21322132)2(1111zyxAAADABABDAAAABDADDDBDDDOEDEO题型二共线、共面向量定理的应用已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有(1）要证E、F、G、H四点共面，可寻求x,y使（2）由向量共线得到线线平行，进而得到线面平行.【例2】).(41ODOCOBOAOM思维启迪.EHyEFxEG证明（1）连接BG，则由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面.（2）因为所以EH∥BD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.,)(21EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEGAEAHEH,21)(212121BDABADABAD（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.所以，即EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形.所以EG，FH交于一点M且被M平分.,21,21)2(BDFGBDEH同理知由FGEH).(41)(2121)(21212121)(21ODOCOBOAODOCOBOAOGOEOGOEOM故在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点,把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解.若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a=λb关系，即可判定两直线平行，如第（1）（2）问即是如此.探究提高知能迁移2设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点.求证：M、N、P、Q四点共面.证明依题意有.2,211NPBANMBACCCBBCCCBCCCCBBBQCCBPBPQ1111111111111121)(212121又.,,,)22(21(*).2,2,,,,,),(21111111111共面式得代入分别共线及NPNMPQNPNMNPNMPQNPBACBNMBABCCBACBACBBC∴M、N、P、Q四点共面.(*)题型三空间向量的模、夹角及数量积（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.把用，，表示出来，然后计算数量积，求模和夹角.【例3】思维启迪MNABACAD（1）证明由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°..,,rqpADACAB2121)(21ABADACAMANMN(q+r-p)21ABMN(q+r-p)·p21(q·p+r·p-p2）.,,0)60cos60cos(21222CDMNABMNaaa同理可证2分4分（2）解21)1(MN可知由(q+r-p).22,22||.2241414141||2222aMNaMNaaMNMN的长为(q+r-p)2［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］)222(2222222aaaaaa8分(3)解.的夹角为与设向量MCAN.2)424(21)60cos2160cos60cos21(21)2121(21)21()(21,2121)(212222222222aaaaaaaaaMCANAMACMCADACANprqrpqqpqrqpq(q+r),23||||aMCAN又10分（1）用基向量解决问题，首先要选取一组基底，该基底的模与夹角应已知或可求.（2）注意两向量夹角与异面直线所成的角的区别与联系..32,32,32cos.2cos2323cos||||2所成角的余弦值为与面直线从而异的夹角的余弦值为与向量CMANMCANaaaMCANMCAN11分12分探究提高知能迁移3已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°.（1）求线段AC1的长；（2）求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；（3）证明：AA1⊥BD.（1）解如图所示，设=a，则|a|=|b|=1，|c|=2.a·b=0，a·c=b·c=2×1×cos120°=-1.AB,,1cAAbAD=a+b+c.=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.（2）解∵=a+b+c，=b-c，=（a+b+c）·（b-c）=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.11CCBCABAC21||AC.2.2||11的长为即ACAC1ACDA1DAAC11又=（b-c）2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为（3）证明b-a，=c·（b-a）=