三角函数基础知识

三角函数基础知识整理一．角的概念：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角或可以简记成奎屯王新敞新疆⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．2．“象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）3．终边相同的角结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：ZkkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意：(1)Zk(2)是任意角；(3)0360k与之间是“+”号，如：0360k-30°，应看成0360k+(-30°)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．二．弧度制：1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角奎屯王新敞新疆它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αradrrr1rad2rr2rad3rr3radlrrad2．弧长公式：rl由公式：rlrl比公式180rnl简单即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径奎屯王新敞新疆oRSl三．三角函数的定义：1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离02222yxyxr2.比值ry叫做的正弦记作：rysin比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcot比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等奎屯王新敞新疆②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用奎屯王新敞新疆③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0r而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：rysin的定义域：Rrxcos的定义域：Rxytan的定义域：Zkk,2|注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)比值只与角的大小有关.ry)(x,P4．三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；余弦在第一、四象限为正；正切在第一、三象限为正.四．诱导公式：1．必须熟记的两组诱导公式：诱导公式一（其中Zk）:用弧度制可写成sin)360sin(ksin)2sin(kcos)360cos(kcos)2cos(ktan)360tan(ktan)2tan(k诱导公式二：-sinsin(）coscos(）tantan(）2.诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式三：用弧度制可表示如下：sin180sin(）sinsin(）-cos180cos(）-coscos(）tan180tan(）tantan(）诱导公式四：用弧度制可表示如下：-sin180sin(）-sinsin(）-cos180cos(）-coscos(）tan180tan(）tantan(）诱导公式五：用弧度制可表示如下：cos)90sin(cos)2sin(sin)90cos(sin)2cos(cot)90tan(cot)2tan(诱导公式六：用弧度制可表示如下：cos)90sin(cos)2sin(sin)90cos(sin)2cos(cot)90tan(cot)2tan(补充公式七：用弧度制可表示如下：-sin360sin(）-sin2sin(）cos360cos(）cos2cos(）tan360tan(）tan2tan(）补充公式八：用弧度制可表示如下：cos)270sin(cos)23sin(sin)270cos(sin)23cos(cot)270tan(cot)23tan(补充公式九：用弧度制可表示如下：cos)270sin(cos)23sin(sin)270cos(sin)23cos(cot)270tan(cot)23tan(五．两角和与差的三角函数关系式：1．两角和与差的三角函数关系式sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(cossincossin)sin(cossincossin)sin(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(2奎屯王新敞新疆)cossin(cossin222222babbaababa因为1)()(222222babbaa.所以sin2θ＋cos2θ＝1(1)若令22baa＝sinθ，则22bab＝cosθ则asinα＋bcosα＝22ba（sinθsinα＋cosθcosα）＝22bacos（θ－α）（或＝22bacos（α－θ））(2)若令22baa＝cos，则22bab＝sin.则asinα＋bcosα＝22ba（sinαcos＋cosαsin）＝22basin（α＋）六．二倍角公式：1.二倍角公式:cossin22sin；)(2S22sincos2cos；)(2C2tan1tan22tan；)(2T1cos22cos22sin212cos)(2C注意：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于2是的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的奎屯王新敞新疆（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4）公式)(2S，)(2C，)(2C，)(2T成立的条件是:公式)(2T成立的条件是ZkkkR,4,2,．其他R奎屯王新敞新疆（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos1sin,22cos1cos22这两个形式今后常用奎屯王新敞新疆七．万能公式：1．万能公式2tan12tan2tan,2tan12tan1cos,2tan12tan2sin2222证明：12tan12tan22cos2sin2cos2sin21sinsin22222tan12tan12cos2sin2sin2cos1coscos22222232tan12tan22sin2cos2cos2sin2cossintan222八．三角函数的图象与性质：1．正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有MPrysin，OMrxcos注：有向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]、余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象，沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=cosx3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)（1）y=cosx,xR与函数y=sin(x+2)xR的图象相同（2）将y=sinx的图象向左平移2即得y=cosx的图象（3）也同样可用五点法作图：y=cosxx[0,2]的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)4．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R5．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］奎屯王新敞新疆其中正弦函数y=sinx,x∈R①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1奎屯王新敞新疆②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1奎屯王新敞新疆而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1奎屯王新敞新疆②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1奎屯王新敞新疆6．周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期奎屯王新敞新疆对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期奎屯王新敞新疆注意：1周期函数x定义域M，则必有x+TM,且若T0则定义域无上界；T0则定义域无下界；2“每一个值”只要有一个反例，则f(x)就不为周期函数（如f(x0+t)f(x0)）yxo1-13T往往是多值的（如y=sinx2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π奎屯王新敞新疆7．奇偶性y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称8．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1奎屯王新敞新疆余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1