高三步步高大一轮复习课件：6.3等比数列及其前n项和 (1)

§6.3等比数列及其前n项和基础知识自主学习要点梳理1．等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母____表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)公比qa1·qn－13．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．G2＝a•b(ab≠0)qn－mak·al＝am·an5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为____.qn[难点正本疑点清源]1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小．3．等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1及前n项和公式Sn＝a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q(q≠1)共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用．(3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q＝1和q≠1两种情况．基础自测1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和Sn＝3n＋k，则实数k＝________.解析由Sn＝3n＋k知a1＝S1＝3＋k，S2＝a1＋a2＝9＋k，∴a2＝S2－S1＝6.又a2a1＝c，即63＋k＝c，∴k＝6－3cc.6－3cc2．若互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.解析由题意有a＋c＝2b，由a＋3b＋c＝10，知b＝2，∴a＋c＝4，bc＝a2＝2c，解得a＝－4或a＝2，由a、b、c互不相等知a＝－4.－43．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.2404．(2010·辽宁)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q等于()A．3B．4C．5D．6解析由已知得3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，两式作差得3(S3－S2)＝a4－a3，化简整理得a4＝4a3，故公比q＝4.B5．在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是()A．2B．－2C．3D．－3解析方法一依题意，q≠1，∵a1(1－q3)1－q＝7，①a1(1－q6)1－q＝63.②②÷①得1＋q3＝9，∴q3＝8，∴q＝2.方法二∵(a1＋a2＋a3)·q3＝a4＋a5＋a6，而a4＋a5＋a6＝S6－S3＝56，∴7·q3＝56，q3＝8，q＝2.A题型分类深度剖析题型一等比数列的基本量的运算例1已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.思维启迪：利用等比数列的基本量的关系式，根据条件列方程，进而求出a1和q.解设{an}的公比为q，由题意知a1＋a1q＋a1q2＝7，a1·a1q·a1q2＝8，解得a1＝1，q＝2，或a1＝4，q＝12.∴an＝2n－1或an＝23－n.探究提高转化成基本量的方程，进而解方程是解决数列问题的基本方法．变式训练1已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．解方法一设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2q＝203，解得q1＝13，q2＝3.①当q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝183n－1＝2×33－n.②当q＝3时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.综上所述，an＝2×33－n或an＝2×3n－3.方法二由a3＝2，得a2a4＝4，又a2＋a4＝203，则a2，a4为方程x2－203x＋4＝0的两根，解得a2＝23，a4＝6或a2＝6，a4＝23.①当a2＝23时，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3.②当a2＝6时，q＝13，an＝2×33－n，∴an＝2×3n－3或an＝2×33－n.题型二等比数列的判定与证明例2已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．思维启迪：(1)由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1转化成an与an＋1的递推关系，再构造{an－1}．(2)由cn求an再求bn.(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝－12·12n－1＝－12n，∴an＝cn＋1＝1－12n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－12n－1－12n－1＝12n－1－12n＝12n.又b1＝a1＝12代入上式也符合，∴bn＝12n.探究提高注意判断一个数列是等比数列的方法，另外(2)问中要注意验证n＝1时是否符合n≥2时的通项公式，能合并的必须合并．变式训练2设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列{an2n}是首项为12，公差为34的等差数列，an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.题型三等比数列性质的应用例3在等比数列{an}中，an0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2，求数列{an}的通项公式．思维启迪：(1)由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3、a5，即而求出an.(2)也可利用性质a23＝a1·a5，a25＝a2·a8，直接求得a3、a5，进而求得an.解因为a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以a23＋2a3a5＋a25＝25.又an0，所以a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，所以a3a5＝4，而q∈(0,1)，所以a3a5.所以a3＝4，a5＝1，q＝12，a1＝16.所以an＝16×12n－1＝25－n.探究提高在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．变式训练3(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.解(1)∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)方法一a1a2a3a4＝a1a1qa1q2a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8.②②÷①：a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8，∴p＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1024.答题规范6．数列求解要注意首项的特殊性试题：(12分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．学生解答展示(1)证明.}{21)(2121111是等比数列nnnnnnnnnnbbaaaaaaabN)()21(3235)21(3235])21(1[321)21(1)21(11)21()21(11)()()()21(1111212312111naaaaaaaaaaabnnnnnnnnnnnnn(2)解审题视角(1)可以利用等比数列的定义证明{bn}是等比数列；(2)由an－an－1＝f(n)的形式，可以想到利用叠加法．规范解答(1)证明b1＝a2－a1＝1，[1分]当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，[5分]∴{bn}是首项为1，公比为－12的等比数列．[6分](2)解由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，[7分]当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)[8分]＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1，[10分]当n＝1时，53－23－121－1＝1＝a1，∴an＝53－23－12n－1(n∈N*)．[12分]批阅笔记本题难度并不大,属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{bn}的首项和公比．解第(2)题时未对n＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性，逻辑的严谨性．思想方法感悟提高方法与技巧1．等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式：an＝