【高优指导】2017版高考数学一轮复习-第七章-不等式-7.1-不等关系与一元二次不等式课件-文-北

第七章不等式7.1不等关系与一元二次不等式-3-考纲要求:1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.3.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.4.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.5.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.-4-1.两个实数比较大小的方法(1)作差法𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏,𝑎-𝑏=0⇔𝑎=𝑏,𝑎-𝑏0⇔𝑎𝑏.(2)作商法𝑎𝑏1⇔𝑎𝑏(𝑎∈R,𝑏0),𝑎𝑏=1⇔𝑎=𝑏(𝑎∈R,𝑏0),𝑎𝑏1⇔𝑎𝑏(𝑎∈R,𝑏0).-5-2.不等式的性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒ac.(3)可加性:ab⇔a+cb+c;ab,cd⇒a+cb+d.(4)可乘性:ab,c0⇒acbc;ab0,cd0⇒acbd.(5)可乘方:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1).(6)可开方:ab0⇒𝑎n𝑏n(n∈N,n≥2).-6-3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}𝑥𝑥≠-𝑏2𝑎Rax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}⌀⌀-7-234151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)ab⇔ac2bc2.()(2)若𝑎𝑏1,则ab;若ab,则a2b2;若ab,则1𝑎1𝑏.()(3)ab0,cd0⇒𝑎𝑑𝑏𝑐.()(4)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则有a0,且方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1和x2.()(5)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()×××-8-234152.(2014四川,理4)若ab0,cd0,则一定有()A.𝑎𝑑𝑏𝑐B.𝑎𝑑𝑏𝑐C.𝑎𝑐𝑏𝑑D.𝑎𝑐𝑏𝑑答案解析解析关闭∵ab0,cd0,∴-c-d0,∴-ac-bd,即acbd.又∵dc0,∴𝑎𝑐𝑑𝑐𝑏𝑑𝑑𝑐,即𝑎𝑑𝑏𝑐,故选B.答案解析关闭B-9-234153.若角α,β满足,则2α-β的取值范围是()A.(-π,0)B.(-π,π)C.-3π2,π2D.-3π2,3π2-π2αβπ2答案解析解析关闭∵-π2αβπ2,∴-π2βπ2.∴-π2-βπ2.又-π2αβπ2,∴-πα-β0.∴-3π22α-βπ2.答案解析关闭C-10-234154.不等式-x2-3x+40的解集为.(用区间表示)答案解析解析关闭不等式可化为x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得-4x1.答案解析关闭(-4,1)-11-234155.若关于x的不等式2kx2+kx-0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是.38答案解析解析关闭当k=0时命题显然成立;当k0时不满足题意;当k0时,由Δ0,知-3k0.综上可知,k的取值范围是-3k≤0.答案解析关闭-3k≤0-12-23415自测点评1.在应用不等式性质时,不可强化或弱化成立的条件,如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘;“可乘性”中的c的符号等都需注意.2.当判断两个式子大小时,对错误的关系式举反例即可,对正确的关系式,则需推理论证.3.解不等式ax2+bx+c0(0)时不要忘记讨论当a=0时的情形.4.不等式ax2+bx+c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图像决定.-13-考点1考点2考点3考点4知识方法考点1比较两个数(式)的大小例1(1)若实数a1,则a+2与的大小关系为.31-𝑎答案解析解析关闭∵a+2-31-𝑎=-𝑎2-𝑎-11-𝑎=𝑎2+𝑎+1𝑎-1,又a2+a+1=𝑎+122+340,a1,∴𝑎2+𝑎+1𝑎-10.∴a+231-𝑎.答案解析关闭a+231-𝑎易错易混-14-考点1考点2考点3考点4(2)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是.答案解析解析关闭M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),又a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-10,a2-10.∴(a1-1)(a2-1)0,即M-N0.∴MN.答案解析关闭MN知识方法易错易混-15-考点1考点2考点3考点4思考:比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?解题心得:比较大小常用的方法有:作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.知识方法易错易混-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)若,则()A.abcB.cbaC.cabD.baca=ln22,b=ln33,c=ln55答案解析解析关闭易知a,b,c都是正数,因为𝑏𝑎=2ln33ln2=log891,所以ba.因为𝑎𝑐=5ln22ln5=log25321,所以ac,即cab.故选C.答案解析关闭C知识方法易错易混-17-考点1考点2考点3考点4(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.答案解析解析关闭令f(x)=ln𝑥𝑥,则f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.当xe时,f'(x)0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为eab,所以f(a)f(b),即ln𝑎𝑎ln𝑏𝑏⇒blnaalnb⇒abba.答案解析关闭abba知识方法易错易混-18-考点1考点2考点3考点4考点2不等式的性质及应用例2(1)(2015广东汕头模拟)如果a∈R,且a2+a0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2a-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a答案解析解析关闭由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1a0.由不等式的性质可知-aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.答案解析关闭D知识方法易错易混-19-考点1考点2考点3考点4(2)设a,b为正实数.现有下列命题:①若a2-b2=1,则a-b1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|1.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)②若1𝑏−1𝑎=1,则a-b1;③若|𝑎−𝑏|=1,则|a-b|1;答案解析解析关闭在①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b为正实数,若a-b≥1,则必有a+b1.这与(a+b)(a-b)=1矛盾,故a-b1,故①正确.在②中,1𝑏−1𝑎=𝑎-𝑏𝑎𝑏=1,只需a-b=ab即可.如取a=2,b=23满足上式,但a-b=431,故②错误.在③中,因为a,b为正实数,所以𝑎+𝑏|𝑎−𝑏|=1,且|a-b|=|(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)|=|𝑎+𝑏|1,故③错误.在④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.若|a-b|≥1,不妨取ab1,则必有a2+ab+b21,这与|a-b|(a2+ab+b2)=1矛盾,故|a-b|1,故④正确.答案解析关闭①④知识方法易错易混-20-考点1考点2考点3考点4思考:判断多个不等式是否成立常用方法有哪些?解题心得:判断多个不等式是否成立的常用方法有:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊值法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.知识方法易错易混-21-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2015陕西铜川模拟)已知a0,-1b0,那么下列不等式成立的是()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a答案解析解析关闭由-1b0可得bb21,又a0,所以abab2a.答案解析关闭D知识方法易错易混-22-考点1考点2考点3考点4(2)(2015西宁二模)已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是()A.若ab,则ac2bc2B.若𝑎𝑐𝑏𝑐,则abC.若a3b3且ab0,则1𝑎1𝑏D.若a2b2且ab0,则1𝑎1𝑏答案解析解析关闭当c=0时,可知A不正确;当c0时,可知B不正确;由a3b3且ab0知a0且b0,所以1𝑎1𝑏成立,C正确;当a0且b0时,可知D不正确.答案解析关闭C知识方法易错易混-23-考点1考点2考点3考点4考点3一元二次不等式的解法例3求下列不等式的解集:(1)-x2+8x-30;(2)ax2-(a+1)x+10.解:(1)-x2+8x-30⇔x2-8x+30,因为Δ=(-8)2-4×1×3=520,所以方程x2-8x+3=0有两个不相等的实根x1=4-13,x2=4+13.又二次函数y=x2-8x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|4-13x4+13}.(2)若a=0,原不等式等价于-x+10,解得x1.若a0,原不等式等价于𝑥-1𝑎(x-1)0,解得x1𝑎,或x1.知识方法易错易混-24-考点1考点2考点3考点4若a0,原不等式等价于𝑥-1𝑎(x-1)0.①当a=1时,1𝑎=1,𝑥-1𝑎(x-1)0无解;②当a1时,1𝑎1,解𝑥-1𝑎(x-1)0得1𝑎x1;③当0a1时,1𝑎1,解𝑥-1𝑎(x-1)0得1x1𝑎.综上所述:当a0时,解集为𝑥𝑥1𝑎,或𝑥1;当a=0时,解集为{x|x1};当0a1时,解集为𝑥1𝑥1𝑎;当a=1时,解集为⌀;当a1时,解集为𝑥1𝑎𝑥1.知识方法易错易混-25-考点1考点2考点3考点4思考:如何解含参数的一元二次不等式?解题心得:1.解不含参数的一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,最后结合相应二次函数的图像写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式时,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.知识方法易错易混-26-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)0的解集是()A.-∞,-32∪12,+∞B.-32,12C.-∞,-12∪32,+∞D.-12,32答案解析解析关闭由f(x)0,得ax2+(ab-1)x-b0.又其解集是(-1,3),∴a0,且1-𝑎𝑏𝑎=2,-𝑏𝑎=-3,解得a=-1𝑎=13舍去,∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3.∴f(-2x)=-4x2-4