《轴对称变换》教案及教案说明

人教版数学八年级上册第十四章轴对称变换【一】教学目标1．知识目标：通过具体的实例认识轴对称变换，探索它的定义和基本性质。能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称变换后的图形，能够利用轴对称变换进行简单的图案设计。2．能力目标：用轴对称变换的方式去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称变换进行推理。3．情感目标：结合教材内容，让学生体会数学来源于生活，数学美化生活，数学是我们生活中不可缺少的一部分，并培养学生空间想象能力，动手实践能力，以及善于合作、勇于创新的精神。【二】教学重点、难点；教学重点：轴对称变换及轴对称作图；教学难点：利用轴对称变换认识和构建几何图形；突破重、难点的方法是设置问题，让学生观察思考、动手操作，合作探究，充分发挥他们的活力和创造力。【三】教学过程教学过程设计意图与时间安排一情境欣赏精美的轴对称作品在日常生活中，只要细心观察，就会处处发现数学的影子。所以先让学生欣赏一些轴对称图片，感受数学巧妙的存在在生活中。1、欣赏图片2、生活中人们办喜事时，都喜欢在门、窗上张贴大红的“囍”字，增添了很多喜庆的气氛。让学生观察上面的“囍”字剪纸作品。提问1：这些“囍”字有什么特点？这些“囍”字剪纸作品都是轴对称图形，它们的对称轴就是把它们左右对折后折痕所在的直线。提问2：如何剪这个“囍”字？分析：这个“囍”字是轴对称图形，对称轴就是中间这条直线。在对称轴左右两边的图形是完全一样的。因此只要把一张红纸对折，剪出其中的一半图形，再展开就可以了。从生活中引出例子，既使课堂的学习贴近生活，又说明了数学来源于生活。同时，展示我国民间传统的剪纸艺术，说明我中华文明的源远流长，博大精深，激发学生的爱国热情。用时约3分钟就像在一张纸上画我们的两只脚印，只要画一只左脚印，把纸对折后描图，再打开，就能得到相应的右脚印。左、右两个脚印关于折痕所在的直线成轴对称。二新课1．概念介绍轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫“轴对称变换”。2．轴对称变换的性质：轴对称变换过程中图形的形状、大小没有发生变化。3．概念理解（1）“轴对称变换”与“轴对称”、“轴对称图形”的区别与联系△两个图形关于某条直线成轴对称与轴对称图形，它们都是讲一个图形或两个图形之间的位置关系，是一个静止．．的状态。轴对称变换是一种变换，讲的是由一个图形得到它的轴对称图形的过程，是一个运动．．的过程。△成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的。一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的。4．画一个图形关于某条直线成轴对称的图形例题：已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形。分析（1）复习：作点关于某条直线的对称点。（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出图形中一些特殊点的对称点，连接这些对称点或过两点作直线、射线，就可以得到原图形的轴对称图形（3）对于△ABC，三个顶点就可以确定它的位置，所以只要作出这三点关于直线l的对称点，顺次连接这三个对称点，就可得到△ABC关于直线l对称的三角形。作法：1°过点A作直线l的垂线，垂足为O，并延长AO至A1使OA1＝OA。则点A1即A点关于直线l对称的对称点。2°类似地，作出点B、C关于直线的对称点B1、C1。3°连接A1B1、B1C1、C1A1。则△A1B1C1即为所求的三角形。练习：把下图补成关于直线l对称的图形。并简要说明作法。介绍新的知识，并让新知识同旧知识联系起来，让学生既容易掌握新的概念，又对旧的知识有进一步的了解。同时，培养学生的画图技能，让他们尽快掌握基本的学习技能。用时约12分钟BAClC'B'A'l三思维拓展思考1：把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，从下往上折从左往右折沿虚线剪下如图，则所得的图形大致是（）ABCD这道题目有些抽象，让学生先观察，再猜想答案，最后动手实验：利用手中的剪刀和正方形纸片，按照题目中的要求折叠、裁剪，展开。学生易得到答案是选项B。接下来，用两种不同的方法和学生一起探讨：得到选项B这个图形运用了什么数学知识。第一种方法：用设问的方式引导学生分析。设问1：纸张对折的作用是什么？——纸张每折一次，就相当于作一次轴对称变换设问2：对称轴在哪里？——折痕所在的直线就是对称轴设问3：怎么用轴对称变换得到所求的图形？——把裁剪后的图形，沿着对称轴从右到左，再从上到下作两次轴对称变换就可以得到所求的图形。小结：这种方法是利用轴对称变换作图，可以培养学生运用“逆向思维”进行思考问题。第二种方法：用验证法引导学生分析。问题：如果把四个选项的图形按题目的折叠顺序做轴对称变换最后得到的图形是什么样的？——例如：对选项A的图形，找出它的对称轴，沿着对称轴作两次轴对称变换，结果发现它的四分之一图形和我们题目中裁剪后的图形不一样，所以选项A是错的。依此逐步验证，可以得到选项B是正确的。小结：这种方法是利用轴对称变换进行验证，学生可以通过空间想象来完成。这样可以培养学生的空间想象能力。应用这两种方法的关键都是——找出“对称轴”，利用对称轴作“轴对称变换”。利用轴对称变换构建几何图形，让学生通过观察－猜想－试验－思考－归纳，培养学生的空间想象能力，动手实践能力。同时，对课堂内容进行延伸，不仅加强本节课的趣味性，也让学生体验了数学在生活中的奇妙应用，同时也培养了学生在实际生活中“动眼－动手－动脑”的学习习惯。用时约25分钟思考2：如果换个位置裁剪，展开后图形又是怎样的呢？从下往上折从左往右折沿虚线剪下引导学生用前面学习的方法思考：一是通过试验：拿出一张正方形纸片再次折叠、裁剪，展开；另一个是利用轴对称变换作图。这样学生也都容易得到答案是选项D思考3：如果换个如下图的折叠方法，依原来的位置裁剪，那么展开后图形又是怎样的呢？从上往下折从右往左折沿虚线剪下（这个问题留作课后的思考题。）紧接着，引导学生把思维进一步发散。思考4：把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，从下往上折从左往右折右下方折沿虚线剪开如图，则所得的图形大致是（）ABCD这道题与前面的思考题相比，就是把正方形纸片多折了一次。多折一次，图形会发生什么变化呢？让学生以四个人为一小组，分组讨论，交流合作，再引导他们用刚才学到的方法处理这个问题。方法一：通过实验，用正方形纸片和剪刀按题目的要求折叠、裁剪、展开。这样很容易得到答案是选项C。方法二：利用轴对称变换作图。找出对称轴的位置，运用逆向思维，把裁剪后的图形沿着对称轴（图中虚线位置）按顺序作轴对称变换，也可以得到答案是选项C。小结：数学很奇妙，一点点的变化就会出现截然不同的结果。让学生明白：学数学不仅要动眼，动手，更要动脑筋思考！思考5：动脑筋想一想，再亲手做一做，一张正方形纸片，如何只剪一刀，就得到一个十字形？让学生分组讨论、实验，倾听他们的一些想法，观察他们的一些做法；再引导学生运用逆向思维和空间想象找到解决问题的途径。先对十字形进行分析：这个十字形是一个轴对称图形，它有四条对称轴，而且在对称轴的两边，图形的形状、大小是一模一样的。找出十字形的对称轴，运用轴对称变换翻折图形，想象十字形最后变成的形状——是一个直角梯形。从下往上折从左往右折右下方折再把正方形纸片按十字形变换的顺序进行折叠。其目的就是让正方形纸片作和十字形一样顺序的轴对称变换。这样它得到一个三角形。从下往上折从左往右折右下方折两者一比较，学生会发现，只要三角形沿着虚线的位置剪一刀，就和十字形折叠后的图形一样，展开就是十字形。此时要强调：这只是一种做法，不同的变换顺序，裁剪位置是不一样的。让学生谈谈不同的做法，培养他们多角度思考问题的能力。思考6：如何剪“囍”字？让学生分组合作，通过观察“囍”字的结构特点，运用本节课学到的知识和技能，动手剪出“囍”字。大体的剪纸过程：一张红色正方形纸片——左右对折——再对折——按“囍”字的笔画描上相应的框图——按框图裁剪——展开。（“再对折”的目的：因为这个“囍”的一半“喜”字也是一个轴对称图形，所以我们只要剪出“喜”的一半就可以了）四归纳总结通过这节课的学习，让学生谈谈学习轴对称变换的收获；引导学生从两个方面进行总结。知识方面：这节课你学到了那些数学知识？运用这些数学知识的关键是什么？思想方法方面：你体会到了那些学习的方法？这些方法对你今后的学习有什么启发？五布置作业：1、教科书135页习题14．2第1题2、用两个圆、两个三角形、两条平行线段设计一个独特而有意义的轴对称图形。与本节课开头提出的问题“如何剪‘囍’字”呼应。让学生体会“提出问题——分析问题——学习新知识和技能——解决问题”的有效策略。让学生自主小结知识要点、数学思想方法等。教师帮助学生整理所学的知识，引导学生进一步体会探究学习的过程和方法，并养成良好的学习习惯。用时约5分钟通过作业让学生进一步巩固本节课的基本知识和技能，并运用学到的知识和技能设计图案，从而加深对知识的理解和应用，培养他们的创新精神。【四】教案设计说明在初中的教学中，我崇尚并践行这样的教学理念：数学来源于现实，存在于现实，且应用于现实，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，把现实“数学化”，积极引导学生通过探索、实践、思考，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。这个理念来源于两个方面：一是世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔在他的著作《作为教育任务的数学》中提到的：“数学来源于现实，存在于现实，且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实；引导他们把现实“数学化”，最终实现数学的“再创造”。另一个是在《数学课程标准》中提到“数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。在这个理念的指导下，我对这节课的教材进行了详细的分析。1、剖析教材的地位和作用《轴对称变换》是义务教育第三阶段7～9年级的内容，它在八年级数学上册第十四章《轴对称》的第二节。我们知道，“变换”在数学中占有重要的地位，前面在《三角形全等》这一章中，学生已经了学习了“全等变换”，其中包含了“平移变换”、“翻折变换”、“旋转变换”；“轴对称变换”其实是一种“翻折变换”，所以这节课的内容可以看作是前面学习的延续。再者，编者把这节的内容安排在“轴对称”的概念、性质及垂直平分线性质定理等知识之后，是让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵，充分体现了数学与生活的紧密联系。同时，这一节的内容也为下阶段进一步探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法作铺垫。这样的安排符合我们的认知规律：通过特殊的案例探索一般的规律，再用一般的规律去指导、研究更特殊的案例。通过本节的学习，让学生体验数学在生活中的广泛应用，培养学生在实际生活中“动眼—动手—动脑”的学习习惯。2、确定教学目标和教学重难点根据教材的地位和作用，我确定了三个目标：知识目标、能力目标、情感目标。这三个目标既各有侧重，又相辅相成；并且要渗透到教学当中去。同时，教学中要条理清晰，主次分明，因此我也明确了本节课的教学重难点。（具体见本文开头）3、分析学生目前的认知情况和学习状态学习本课时内容时，学生已经了解并掌握了“轴对称”的相关知识，能够做出点关于某条直线的对称点；已经具备一定的动手操作能力与图案设计能力，有一定的空间想象能力和合作交流能力，并且学生对于探索生活中问题比较感兴趣，乐于参与到一些动手操作活动中来；同时，由于我目前所任教的班级是我从七年级开始带起的，他们已经养成比较好的学习习惯，对我的一些教学理念已经比较熟悉，因此我可以在教学过程中进行一些思维延伸。4、确定教法、学法教法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生目前的认知情况和学习状态，我采用引导发现法、探索讨论法。通过创设一个生活中的情境，引出新的知识，教授学生基本的技能；最后设置实际问题，引导学生去探索、思考、讨论及动手试验，以此来加深对新知识的理解；这一方面说明数学来源于生活，数学又高于生活。