9-平差随机模型的验后估计

平差随机模型的验后估计问题的提出：在处理不同类观测值或不同种精度观测值权比确定不准的问题。即：需对验前方差进行估计，以便能更精确地定权。最初应用于测角网、测边网以及水准网的平差中：1、同类观测值精度不同；2、不同类观测值。大型GPS网，为了提高外业观测时效：•不同类型GPS接收机同步观测；•一个大型网分成若干子网分别观测；•或者控制网中使用了不同软件解算的基线向量等。这些问题会造成平差计算时不同类观测量方差阵之间差异，为消除这些差异就需要进行方差估计。当先验随机模型假定不成立时，就必需对随机模型进行验后估计，以达到精化平差结果的目的。随机模型估计理论有：1）赫尔默特方差分量估计方法；2）Roa提出的最小范数二次无偏方法；3）Koch提出的最优不变二次无偏方法等。这些方法的共同点都是采用最小二乘估计后的残差来估计方差分量。数学模型函数模型随机模型观测量与观测量观测量与未知数之间描述观测误差△的一些随机特征E（△）=0D（△）=σ02Q比如：经典平差中，对不同类观测量（边角网、卫星网与地面网联合平差等），一般采用经验公式定权，即先由标称精度估算各自方差，然后再按定义定权。（称为验前估算）实践证明不够精确。为提高方差估计精度，采用验后的方法估计各类观测量的方差，然后定权，即“平差随机模型的验后估计法”。随机模型的验前估算主要是为了确定观测值的权；根据权定义，计算观测值的权；其中单位权方差在平差前可以任意选定；实践证明:权确定的不准确，对参数估值是不敏感的，但对估值的协方差影响是严重的！随机模型的验前估算方法:;iiiiCCppSN220022;sisipp随机模型的验后估计基本思想是：先对各类观测量定初权，进行预平差；利用预平差的信息（V），依据一定的原则对各类观测量的验前方差和协方差作出估计。可见，随机模型的验后估计目的和作用：检验不同类观测值的权确定的是否恰当和合理；能够由已获得的测量结果中比较可靠地求出观测精度信息。本节主要验究对不同类型或不同精度观测值一起平差时，各类观测值权的初始值是否取得恰当，或者说各类观测值的权比是否恰当。当取得不当时，如何利用预平差信息来改善各类观测值权的初始值（或权比值），然后再作平差计算。——把此过程称作“协方差分量估计”。一、赫尔默特方差分量估计方差估计（或方差分量估计）：是指当各类观测量之间相互独立，即观测量的方差阵是拟对角型矩阵。1、严密估计公式函数模型随机模型(不考虑X的随机性）LBX1EP2L0（）=0，D=D=赫尔墨特方差估计思路：1、将L分成两类:2、对应有：3、用来估算。1112220,0LVPLVPLVP122121011022,LLDPDP111222,TTVPVVPV220102ˆˆ,11221212,,VLLVLLVDDDVDDD误差方程法方程及其解现设L中包含有两类相互独立的观测值L1、L2，即：ˆVBXL1ˆˆNXWXNW，12TLLL1200LPPP111222ˆVBLVXVBL111222111222TTTTTTNBPBBPBBPBWBPLBPLBPL则有：一般说，第一次平差给出的两类观测值的权P1、P2是不准确的，或者说，两类观测值的单位权方差实际是不相等的。为此，令其分别为σ012和σ022，则有：方差分量估计的目的是：根据各次平差得到的改正数向量V组成平方和，来估计σ012和σ022的。122121011022LLDPDP，111222TTVPVVPV及()TTEYMYtrMM（）(,)Y11()()TTnnEtrYYtrEYY()()(),()TTTTtrtrABtrABABAB和是方阵迹性质：()()()(())()(())(())()()()()(())()()TTTTTTTTTTTTEYMYEtrYMYEtrYYMtrEYYMDYEYEYYEYEYYEYYEYMYtrEYYMtrMtrMM证明：为此，需建立改正数V平方和与σ012及σ022之间的关系；则根据二次型的数学期望公式，顾及E（V）=0，可得到：1111122222()()TVTVEVPVtrPDEVPVtrPD（）（）()TTEYMYtrMM（）又因：利用协方差传播律，得到：111111111211111122211111111222ˆ()()()TTTTVBXLBNWLBNWWLBNBPLBPLLBNBPELBNBPL1121111111111122122()()()TTTVLTTTLDBNBPEDBNBPEBNBPDBNBP122121011022,LLDPDP其中：将上式整理可得：故有：同理，可得：121111210111111102121(2)()TTTVDBNNNBBNBPBNNB1111121111211011111111110211212111211011111111102121121112110111110221()222()()()TVTTTTTTEVPVtrPDtrPPPBNBPBNNNBtrPBNNNBtrENBPBNNNBPBtrNNNBPBntrNNtrNNNNtrNNNN（）2222221112110222220112()2()()()TVEVPVtrPDntrNNtrNNNNtrNNNN（）将上两式数学期望去掉，并写成矩阵形式或者，写为则得方差分量估值公式为：211211011111112121111202222122222()()()()2()()TTVPVntrNNtrNNtrNNNNVPVtrNNNNntrNNtrNN222121ˆWS1ˆSW矩阵迹的性质：()tr计算出方差分量估值后，依下式进行检验：1）若成立，则说明平差前所定的权比正确；2）否则，需以此作下一次平差的验前权，依下式确定修正后的权（验后权），即：重新进行平差计算，直到等式成立为此。1222122110112022ˆˆˆˆˆˆccccPPPP、220102ˆˆ220102ˆˆ经过三次迭代计算后，角度和边长的单位权方差趋于一致，则迭代结束。1、按经典间接平差法，进行第一次平差，得到：Vs、Vβ2、根据得到的改正数V，估算两类观测值的单位权方差，（公式）3、由估算的单位权方差计算角度、边长观测值的方差估值；4、由3估算出的方差进行第二次定权；5、进行第二次平差（同1、2、3、4、5）；6、反复，直至2所算得两类观测值的单位权方差趋于一致；7、最后一次的平差结果为最终结果。21121101111211212111120222122222()()()()2()()TTVPVntrNNtrNNtrNNNNVPVtrNNNNntrNNtrNN方差分量估计的迭代计算步骤：1、将观测值按等级或按不同观测来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的初值P1，P2…（按经验定权）2、进行第一次平差，求得；3、按公式进行第一次方差分量估计，求得各类观测值单位权方差的第一次估值；4、再依定权：5、反复进行第二项和第三项，直至为此。TiiiVPV22201020ˆˆˆm210ˆˆiiicPP220102ˆˆ、按经典间接平差法进行平差计算V计算V1、V2、N、N1、N2组成W组成S估算方差分量θˆ=S-1Wθ1ˆ：θ2ˆ等于1，输出不等于1按该次结果为平差结果重新定权（验后权）不难看出:：Helmert方差分量估计是根据各次预平差得到的改正数V来估计方差分量，修正平差所用的权值，然后再以修正后的权值重新平差，逐渐趋近到权比合理为此，从而得到正确的参数估值。或者说：它通过验后方差协方差进行重新定权,不断调整各类观测值的权比,直至结果收敛。将两类观测值扩展到m类观测值、或m个精度等级观测量的情况，对应的公式见课本。•)()(2)()()()()(2)()()()()(211112111112121212122111211112111111111NNNNtrNNtrnNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNtrnNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNNNtrNNtrnSmmmmmmm，，，Tm20202201ˆˆˆˆWSmmm1ˆTmmTmTTVPVVPVVPVW2221112、简化公式公式（1）：令在推导公式（计算过程）中，令，则得：公式（2）：若略去上式分母中的求迹部分，则有：以上即为Helmert所提出的更为近似的公式(有偏估计）。20ˆTiiiiiVPVn222220102000ˆˆˆˆmi120ˆ(())TiiiiiiVPVntrNN201ˆ(()TiiiiiiVPVntrNN或：（分母称第ｉ类观测量Lｉ的多余观测分量。）公式（3）：我国周文江教授提出的简化公式:•略去法方程系数阵N以及子块N中的非主对角元（因为大型控制网N的非主对角元素相对较小），仍利用严密公式进行方差估计。iiiTabiTiiiiabtNBPBdiagNNNNBPBdiagNNN即取：这样，求迹运算时，只取矩阵的主对角线元素，从而使矩阵的迹运算大为减少。二、方差-协方差分量估计当各类观测值是相关的，即时，对随机模型的估计称“方差-协方差分量估计”。方差-协方差估计的目的，就是通过平差得到的残差平方和，去估计的。为方便起见，令：20ˆ0ij1122222000123ˆˆˆTT1111112221222222TTTTTVPVVPVVPVVPV、、1122222000ˆˆˆ,,设有两类观测值L1、L2，则观测向量L的方差阵为：为平差定权需要，取初值：则L的方差阵为：可得L的权阵为：(0)111T1122122201101211222212021022()(,)()(,)()QQDLDLLDLDLLDLQQ0101211120021022122()(,)()(,)()DLDLLQQDLDLLDLQQ11112111210021221222()()TQQPPPLDLQQPP为方便，令以下符号这样，观测量的方差阵、初始方差阵、权阵又可表示为12111231222121112312220000,,00000000,,0000TTQQQQQQQPPPPPPP31301301()()()iiiiiiiDLQDLQPLP参数X在初值下的估值为：改正数V在初值下的计算公式为：顾及L-BX=△，得：1100ˆ(())()TTTLXBPLBBPLLNBPL1ˆ()TLVBXLBNBPELRL1111ˆˆˆ()()()()()()()()TTLLTLTLVBXLBXBXBXL