第五讲-滤波与推估

滤波与推估解决问题：1、模型中的参数X具有先验信息，求X的最佳估计－滤波；2、另有非模型中的参数X’与模型中参数有相关关系，求X’估值－推估。滤波对观测方程系数B是否是满秩，不做要求！例1：设已知观测方程为求X的估值及其误差方差。（以上就是一个求已测点信号，即“滤波”的问题。）1020100220010200XXXLDDD，，，1112221110LXLXˆXDˆX例2：例1中，若还已知求：的估值以及误差方差。121002XXXXXDDD，，，ˆXXˆXD（以上就是一个求未测点信号即“推估”的问题）例3：下图，设A、B两点间距离SAB=23.00公里，沿AB连线在A、1、2、3、4等五个点测定了大气温度。各点上的气温观测值和1、2、3、4各点的距离如下表：观测向量L的方差阵为,点B气温关于其它各点气温的协方差阵为。求B点气温的推估值。ˆBtLDBtLD点号A1234BL(0C)19.020.118.719.219.8SAi(KM)04.51110.74716.75322.22023.000A1234B测量平差中，将通过含有误差的观测值，求定参数的最佳估值方法分为两类：1、经典的最小二乘平差法；2、滤波。区别：经典最小二乘法不考滤参数的随机性质，按照经典最小二乘原理求定最佳估值；滤波则是把全部参数都作为正态随机量，按极大验后（或广义最小二乘原理）来求定参数最佳估值。一、几个概念滤波：测量平差中，滤波看作是一种利用含有误差（噪声）的观测值求定参数的最佳估值的方法。参数：非随机的（或不考虑先验统计性质的）参数，称“参数”，即最小二乘平差中的参数。信号：随机的（需考虑先验统计性质的）参数，称为“信号”；信号分为1、滤波信号X——与观测向量建立函数模型的信号。2、推估信号X‘——没有与观测向量建立函数模型的信号。滤波——求定滤波信号X的最佳估值的过程；推估——求定推估信号X'的最佳估值的过程；推估又分为：1、内插或平滑——X'在X的范围之内，就是∽。2、外推或预报——X'在X的范围之外，就是∽。可见：滤波、推估与最小二乘平差法都是来求定参数的最佳估值的，不同处就在于是否考虑参数的随机特性！因滤波（推估）考虑了参数的随机性，故所得的估值比最小二乘平差估值具有更高的精度！故：滤波、推估可按极大验后估计求定，也可按广义最小二乘原则求定。于是就出现了“极大验后滤波与推估”、“最小二乘滤波与推估”。但计算公式是一致的！二、极大验后滤波与推估设L为正态随机观测变量，X为正态随机参数向量（信号），具有以下的先验统计性质：();(),();cov(,)XXLLXLEXVarXDELVarLDXLD（），按照极大验后估计基本公式可求X的估值、以及估值的误差方差为：11ˆˆ()()()XXLLLXXLLLXXXXEDDLlXDDDDDDl下面讨论在已知函数模型下求定滤波信号、推估信号的公式：函数模型（L、△、X、X´都是正态随机向量）：随机模型：11111nnttnLBX()0,,,,,,,,XXXXXXXXEDDDDDD求信号的基本公式：需先求L的方差、数学期望及协方差为：11ˆˆ()()()XXLLLXXLLLXXXXEDDLlXDDDDDDl()TTLXXXTXLXXLXDBDBDBDDBDDBDELB11111;0nnttnXBEXXXELBX具体过程:(按协方差传播律)0TXXLXTXXLXXDDBDBEDDEDDBDBEDD函数式:按定律得:将所求代入基本公式，得滤波信号的估值和误差方差为：特殊地，当D△X=0，D△X‘=0时，信号X的估值公式为：11ˆˆ()()()()()()TTTXXXXXXXTTTXXXXXXXXXXDBDBDBDBDDBLBDDDBDBDBDBDDBDBD11ˆˆ()()()TTXXXXTTXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDBD（公式一）推估信号X´的估值及误差方差公式根据基本公式，可知显然，为求得X‘估值，还需根据统计性质求得DX’L和DLX‘。11ˆˆ()XXLLLXXLLLXXXDDLDDDDD求出推估信号与观测值的协方差：1）观测方程改写为2）又写出3）按协方差传播律可得0XLBEX000TXXXXTXLXXXXXXXXXDDDBDEDDDDBDDDDE00XXEX带入极大验后基本公式，得推估信号的估值以及方差公式为：特殊地，当D△X‘=0，D△X=0时，公式为11ˆˆ()()()()()()TTTXXXXXXXXTTTXXXXXXXXXXXXDBDBDBDBDDBLBDDDBDBDBDBDDBDBD11ˆˆ()()()TTXXXXXTTXXXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDBD实用上，常见是D△X=0，D△X‘=0，即滤波、推估的简化公式：当已知的是，则不需要建立数学摸型，而直接按基本公式计算：11ˆ()())()TTXXXXTTXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDD11ˆ()()()TTXXXXXTTXXXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDDXXXLLDDD、、、11ˆˆ()XXLLLXXLLLXXXDDLDDDDD三、最小二乘滤波与推估•根据广义最小二乘原理导出的滤波和推估公式，称之为最小二乘滤波和推估。•广义最小二乘原理：minXXXXTTXXXLBXPLXPVPVVPV，（），误差方程：虚拟误差方程：随机模型：平差原则：XXXXXDDDDD、、、、ˆVBXLminminTTxxxTVPVVPVVPV或：ˆxxVXLˆXLBVXLI按间接平差法，可得法方程为：解法方程：或者，根据矩阵反演公式得：ˆ()()0TTXXXBPBPXBPLPL11ˆ()()()TTXXXXTTXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDD1ˆ()()TTXXXXBPBPBPLPL例1：设已知观测方程为求X的估值及其误差方差。解：1020100220010200XXXLDDD，，，1112221110LXLXˆXDˆX163362111292320422199ˆ,5210999TTLXXXLTXLXXXDBDBBDDBDDDDBDXD11ˆ()())()TTXXXXTTXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDD11ˆˆ()()()XXLLLXXLLLXXXXEDDLlXDDDDDDl解：观测方程直接代入推估公式即得所求：Lg11ˆ()()()TTXXXXXTTXXXXXXXXDBBDBDLBDDDBBDBDD11ˆˆ()()gTggggCDDLDDCDDC由滤波与推估公式以及例题可知，观测点信号以及未测点信号的先验方差-协方差在平差前应是已知的。也是与经典平差区别。那么这些先验信息是如何得到？-----协方差函数及其估计四、协方差函数及其估计几个概念：•随机函数：依赖于时间或其它因素而变化的一族无穷多个互相关联的的随机变量之集合为随机函数。用X（ｔ）表示。•随机过程：若考虑的因素（时间、距离等）是连续的，称这种随机函数为随机过程。•随机序列：若考虑的因素是一些离散值，称这种随机函数为随机序列。随机函数的数字特征：1）数学期望（依赖于ｔ的非随机函数）2）方差3）协方差函数()(())XtEXt()(()())(()())TXXXDtEXttXtt121212(,)(()())(()())TXXXDttEXttXtt如信号是一族不随时间或其它因素变化的随机变量，则其协方差阵计算与观测向量协方差阵的估计相似：实际中，信号是一族随时间或其它因素（位置）而变化的速记变量构成的，并具有以下统计特性：2ˆˆijijsssssssnn平稳随机函数及其各态历经性质一个随机函数X（ｔ），若它的数学期望和方差取常数、协方差函数仅是区间长度（如时间间隔）的函数，即：则称X（ｔ）为平稳随机函数。说明：1）随机过程中各随机变量的期望相等，不随时间变化为一常数；2）不同位置的两个变量的协方差仅与时间间隔有关，与时间起点无关、也表明协方差是时间的函数，具有这种性质的协方差称为：协方差函数。1()(,)()xxxXEXtDttD（）（（t))=常数(2)•各态历经性:可以用区间平均值代替总体平均值的性质。•最小二乘配置中的信号，通常认为是具有各态历经性的平稳随机函数，而不是一般的随机变量，这一点要注意。•于是，用一次实现ｘ（ｔ）来估计它的统计特性。1）协方差函数定义:•协方差函数的估值：ˆ,)cov((),())(()())(()())XjkjkjxjkxkDttXtXtEXttXtt（111ˆˆ,)(()())(()())11ˆ()()nXjkijxjikxkinxjijiDttxttxttntxtn（其中：为了消除误差干扰，研究数据变化规律，需对原始数据进行修匀或圆滑处理。2）协方差函数的估计1）对于能够得到大量实现的平稳随机函数，可以利用这些实现按协方差函数公式计算相应协方差函数值；2）对于只能得到一个实现（一组观测数据）的平稳随机过程（具有各态历经性），则：①利用协方差函数的估值公式计算出相应协方差函数估值；②为合理确定协方差函数的表达式，需选择适当的函数式，应用最小二乘拟合法来确定。③常用拟合函数有常数、线性函数、指数函数、高斯曲线函数、多项式函数等。•可见：协方差函数式是一个表达方差-协方差与某个量的依赖关系的。下面，通过一个实例来说明确定平稳随机函数的协方差函数统计计算方法。•例：为求某断面方向上温度变化的协方差函数，沿该方向分别在A、1、2、3、4个点上进行了大量的温度观测，观测及各点的距离列于表，现假定温度变化是个平稳随机过程，即对于任何选定的时间，所有的观测有共同的期望。求协方差函数D（s）。(P48)1234116.415.916.315.815.4216.316.116.215.915.5316.816.415.916.316.3416.616.216.316.216.3516.816.716.116.216.3616.616.516.416.216.3……1816.115.916.016.116.5序号A温度测站1）根据观测结果，可求得各