利用几何知识求函数最值

分类号密级UDC编号本科毕业论文(设计)题目利用几何知识求函数的最值_所在院系数学与统计学院专业名称数学与应用数学年级10级学生姓名梁宏亮学号1050410021指导教师王莹二零一四年三月学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在王莹老师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：文献综述一、概述函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从而选取最简单、有效的方法求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。二、主题1用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状1.1选题依据一方面，函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，但同时，它又是函数学习的一个难点。函数最值的求解伴随着着整个函数的学习且方法又多种多样，理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另一方面，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。通过对用几何知识求函数最值的研究，熟练的掌握相关的知识，对所学的知识进行运用。对所学的几种几何知识求最值的方法进行归纳总结和对比，方便以后的学习使用。1.2用几何知识求函数最值的研究现状最值问题是一类常见而又重要问题，也是生活、生产、科研活动中常能遇见的一类问题。对于一些函数，用常规方法显得太过于繁琐，但若能经过巧妙的转换，运用几何知识求解往往能化难为易。查阅资料发现，目前用几何知识求函数最值主要有以下两种：数形结合和向量法。需要注意的是数形结合又可以分为：（1）把最值转化为函数图像截距；（2）把函数最值转化为两点间的距离；（3）构造矩形、立方体和斜率等。除这几种方法外，面对复杂的函数组，我们需要用到线性规划的知识求解。在使用向量法求解函数的最值时，我们需要学会构造与函数相符的向量，巧妙求解。2用数形结合求解函数最值2.1转化为截距求函数最值在中学数学中，有一些数学问题并未直接给出函数让你求解，必需通过先构造出一个函数然后经过转化为我们已知的数形结合方法去求所构造函数最值，从而对数学问题构成求解。在中学数学中最常用到的便是一次函数bkxy的截距。一次函数构造简单，而且便于计算。只需要构造好函数后令0y或0x即可简便求出最值。2.2转化为两点间的距离距离公式：若Aba,、Bdc,，则AB间的距离为22dbcad。一些特定的函数可以转化为形如2222dcxbaxy的类型。这样就能用两点间的距离和位置关系迅速解题。2.3构造法构造法是数学研究和学习中常常会用到的方法，那么在用几何知识求函数最值时是时时会用到的。而构造我们熟悉的平面图形和立体图形求解又是最常用的方法。3用向量法求函数最值向量是中学数学中的一个重要模块，它能把许多代数式转化为直观的图形，便于理解。在利用向量解决函数最值时，我们好用到向量的两个主要特征：向量三角不等式：baba向量数量积的性质：baba在用向量法求解时要注意两点：一方面对向量的构造一定要合理恰当。观察函数的形式，选择最为方便的向量构造，往往是否用向量法快速求出函数最值的关键。另一方面，运用向量法时，我们更多的会用到不等式的知识，而在运用不等式时，一定要注意等号成立的条件。4数形结合与向量法的优劣比较数形结合和向量法在解决这类题目时各有千秋，在解决一道题时如何选择方法就变得尤为重要。通过对一道题的分析找出优缺点。三、结论对于函数的最值问题，能否用几何知识求解的前提是该函数或者其变形是否具有一定的几何意义。因此，寻找几何意义是能否用几何知识解题的关键。通过挖掘问题的几何意义构造相应的几何模型，将函数最值问题转化为几何问题，找出简单解法。对于比较简单的函数最值问题，通过直接转化，就能得到几何意义，这就要求我们善于观察和熟练掌握几何知识，从而能快速分析函数几何意义。相对的，对于比较复杂的函数，要有创新精神，通过大胆的构造，把函数潜在的几何意义完全的发掘出来，从而解题，同时要培养联想和想象的能力。虽然能用几何知识求解函数最值只是函数最值求法中极少的一类。但郑重方法的使用，能够简洁方便的解决问题，同时又能培养几何直观能力，增加思维的能动性和灵活性，对提高解题能力好处多多。参考文献[1]温镇辉.谈“数形结合法”的运用.中学数学研究,2003(3):31-32[2]马富强.巧用几何直观解题.中学生数学,2002(12)：14[3]王一平.的dxcfbxafy几何意义及其应用.中学数学，1996(1):47-49[4]王敬庚.解析几何方法漫谈[M].郑州：河南科学技术出版社.1998：173—176[5]吕林根，许子道.解析几何[M].第四版.北京：高等教育出版社.2006：8—39[6]陈挺进.一类函数最值的几何求法.安庆师范学院学报.1997年第2期3卷[7]赵世梅.用几何知识求解函数最值.县嘎吉中学.615203[8]罗琦.向量在代数解题中的应用[J].桂林师范高等专科学校学报.200822[9]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[M].北京：北京师范大学出版社，2001:31-33[10]李雷.新课程背景下《几何画板》在初中探究性教学中的研究[D]，东北师范大学，2008:12-15[10]徐稼红。计算机辅助函数图像教学的新途径[J].数学教育学报，2004，13(3):82-84摘要:函数是数学的一个重要组成部分，贯穿数学学习的许多方面。而最值作为函数的一个重要形态就显得尤为重要，现实社会中的许多问题都能用最值问题求解，所以它往往是数学函数解题的一个难点。理解最值的含义从而选取最简单、有效的求解函数的最值成为关键点。另外，几何是中学数学学习的重点。但它又是研究函数性质的重要工具，它能把枯燥的函数字符转化为直观的图形，简单明了便于研究。很多函数最值问题都能转化成“形”的问题解决，更加便于理解。如何把数和形完美连接起来，使之通俗易懂就显得尤为重要。本文从已经学习过的求函数最值的方法入手，通过对例题的分析与探讨，并对用几何知识求函数最值的两种方法：数形结合与向量法进行了总结和归纳。最后用一、两道题论述了在解决一些基本例题应该对两种方法如何取舍并对两者优劣进行了对比。关键词:函数最值几何知识数形结合向量法Abstract:Functionisanimportantpartofmathematicsthroughoutmanyaspectsofmathematicslearning。Themostimportantformofvalueasafunctionisparticularlyimportant,inreality,manyofthesocialproblemscanbesolvedbythemostvalueproblem,soitisoftenadifficultmathematicalproblem-solvingfunctions。Inordertounderstandthemeaningofmostvaluetoselectthemostsimpleandeffectivetosolvethemostvaluedfunctionsbecomekeypoints。Inaddition,thegeometryisthefocusofhighschoolmathematicslearning。Butitisalsoanimportanttooltostudythefunctionofnature,itcanfunctionboringcharacterintoanintuitivegraphical,simpleeasytostudy。Manyfunctionscanbetransformedintothemostvalueproblemsshapeproblemsolving,andmoreeasytounderstand。Howtoconnectthenumberandshapeperfectly,sothatitbecomeseasytounderstandtherewasimportant。Thispaperhaslearnedthevalueofseekingthebestwaytostartafunction,forexamplethroughtheanalysisanddiscussionof,andwiththeknowledgeofgeometryaretwowaystofindthebestvaluefunction:theconnectionofnumberandshape,andvectormethodsummarizedandclassified。Finally,anoverviewoftheprobleminsolvingsomebasicexamplesshouldbeandhowtochoosebetweenthetwomethodswerecomparedtheprosandcons。Keywords:ThevaluefunctionKnowledgeofgeometryTheconnectionofnumberandshapeVectormethod目录1绪论.................................................................11.1函数最值在现实生活中的意义.......................................11.2用几何知识解决函数最值的选题依据和研究现状.......................21.2.1选题依据...................................................21.2.2用几何知识求函数最值的研究现状............................21.3本文主要研究的内容...............................................32用数形结合求解函数最值...............................................32.1最值转化为截距求函数最值.........................................32.3用构造法求函数最值...............................................72.3.1构造矩形求函数最值.........................................72.3.2构造立体图形求解函数最值...................................93用向量法求函数最值..................................................103.1利用向量的三角不等式求解最值....................................103.2利用向量数量积的性质求函