圆和扇形的图形讲义

1一、圆（一）圆的认识圆是研究平面上的一种曲线图形；在纸上画一个圆，然后剪下来，像下图的那样，对折，打开，再换个方向对折，再打开，反复折几次。折过若干次后，可以发现:这些折痕相交于圆中心的一点。把圆中心的这一点叫做圆心。圆心一般用字母0表示。用有刻度的直尺量一量圆心到圆上任意一点的距离，可以发现：圆心到圆上任意一点的距离都相等。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。在同一个圆里，有无数条直径，所有直径的长度都相等。在同一个圆里，直径的长度与半径的关系:直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的21，即。d＝2r，或r＝21d。（二）圆的计算1、圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。通过一些实验和统计可以知道，圆的周长总是直径的3倍多一些。任何圆的周长和直径比的比值是一个固定的数。这个比值叫做圆周率，用字母π(读pài)表示。约2000年前，中国的古代数学著作《周髀算经》中就有“周三2径一”的说法，意思是说圆的周长是直径的3倍。约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之。他计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值的计算精确到6位小数的人。他的这项伟大成就比国外数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年。后来数学家们逐渐发现圆周率是一个无限不循环的小数。现在已经能用计算机算出它的小数点后面上亿位。π＝3.141592653……但是，在实际应用中并不需要这么多位小数。在计算时，一般只取它保留两位小数的近似值，即π≈3.14；或取它保留整数的近似值，即π≈3。因为圆的周长总是直径的π倍，当我们知道了圆的直径或半径时，就可以计算出它的周长。如果用C表示圆的周长，那么C＝πd，或C＝2πr2、圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。为了计算圆的面积，只能把圆转化成学过的图形来计算。在硬纸上画一个圆，把圆分成若干等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼一拼，可以拼成一个近似的平行四边形，如果分的份数越多，每一份就会越细，拼成的图形就会越接近于长方形。如图所示。这个长方形的长是圆周长的一半，宽是圆的半径，即长是πr，宽是r。因为长方形面积＝长×宽，所以如果用S表示圆的面积，那么圆的面积:S＝πr2或S＝41πd2【习题训练】3一、填空1、通过()，并且两端都在()的线段叫做直径。从()到()上任意一点的线段叫做半径。同一圆内，直径等于半径的()，半径等于直径的()。2、圆周率表示圆的()和()的倍数关系，它用字母()表示，保留两位小数取近似值约是()。圆周长等于()乘以()。3、用圆规画一个半径是20毫米的圆，圆规两脚之间的距离应取()厘米，如果要画直径是20厘米的圆，圆规两脚之间的距离要取()厘米。4、一个圆的周长是18.84厘米，该圆的半径是()，面积是()。如果将圆的半径缩小3倍，缩小后的圆的周长是()，面积是()。5、要画一个周长是15.7米的圆，它的半径应取()分米。6、一颗手雷爆炸后，有效杀伤范围是一个直径为16米的圆，有效杀伤面积是()平方米。7、把一个半径是1分米的圆，分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是()分米。8、把一个圆切拼成一个近似长方形，这个长方形的长相当于圆周长的()，宽就是圆的()。9、在边长4分米的正方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是()。10、在正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是这个正方形面积的。11、在一个周长是16厘米的正方形中画一个最大的圆，这个圆的周长是()，圆的面积是()，剩下部分的面积是()平方厘米。12、在一个周长为100毫米的硬纸正方形内，要剪下一个最大的圆，这个圆的直径是()厘米，半径是()厘米。13、在长10厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的半径是()。14、在一张长72厘米、宽48厘米的长方形纸片中，最多能剪成()个直径为最大的圆，且剩余纸片最少。15、一张长28厘米，宽2l厘米的长方形纸片，最多能剪成半径是3.5厘米的圆形纸片()个。416、秒针长1厘米，秒针的针尖2小时将走()厘米。17、地球赤道半径约为6378千米，绕赤道走一圈大约是（）千米。(得数保留整数)18、草地上有一木桩，把一只羊用绳系在木桩上，若绳长2米，这只羊最多可以吃到（）平方米的草。19、在一个直径为3分米的木桶外扎一个铁圈需要()分米的铁条。(接头处不计)20、给一个木桶(外直径3.8分米)打上一道铁箍，铁箍接头处需3厘米。这道铁箍长（）厘米。21、用直径是2分米硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，滚动时所经过的距离是()分米。22、小华滚铁环从家滚到小明家正好滚100圈，已知铁环直径是0.8米，那么小华和小明家之间的距离是()米。23、用铜丝绕线圈，线圈半径1.5厘米，绕100圈需用（）长的铜丝。24、628毫米长的细钢丝在一根圆铁棒上刚好绕10圈，这根圆铁棒的横截面是（）平方毫米。25、一个三角形铁片与一个半径是50毫米的圆形铁片面积相等，三角形铁片的底是250毫米，这条底上的高是（）毫米。26、如左图，一个环形外圆直径是6厘米，内圆直径是4厘米，这个环形面积是()平方厘米。27、一个半圆形花池，半径是3米，如右图，这个花池的周长是()米。28、用一条长15.42厘米的铁丝围成一个半圆形，这个半圆形半径是()厘米。二、判断下列说法是否正确(对的在括号里打√，错的打×)1、从圆内到圆上任意一点的线段叫做半径。()2、通过圆并且两端都在圆上的线段，叫做直径。()3、通过圆心并且经过圆上的直线叫做圆的直径。()4、所有的半径都相等，所有的直径都相等。()5、圆的直径等于半径的两倍。()6、圆的周长等于各自直径的π倍。()7、如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定5分别相等。()8、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。()9、圆的半径是2厘米，它的周长和面积一定相等。()10、同一个圆的半径和圆的周长的比是1∶2π。()11、同一圆内，周长等于直径的π倍，那么周长等于半径的2π倍。()12、圆的半径为20厘米，半个圆的周长为62.8厘米。()13、21πd2是半个圆的面积。()三、选择正确答案的序号填入括号1、一张长方形纸长12厘米，宽8厘米，在这张长方形纸中剪一个最大的圆，这个圆的面积是()平方厘米。A．113.04B．50.24C．96D．45.762、一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大()倍，它的面积扩大()倍。A．1B．2C．43、有大、小两个圆，大圆的直径是小圆直径的5倍，大圆面积是小圆面积的()倍。A．5B．10C．25D．15.74、周长相等，面积最大的是()。A．正方形B．长方形C．圆5、一个圆的周长与一个正方形的周长相等，这个圆的面积一定()这个正方形的面积。A．小于B．大于C．等于6、一个圆的直径和一个正方形的边长长度相等，这个圆的面积一定()这个正方形的面积。A．小于B．大于C．等于7、一个圆的面积与一个正方形的面积相等，那么，这个圆的周长一定()这个正方形的周长。A．小于B．大于C．等于8、大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是()平方厘米。A．12B．469、半圆的周长等于()。A．2CB．2C＋rC．2C＋2r10、12个小朋友手拉手围成圆圈做游戏，如果相对的两人之间的距离是3米，圆圈的面积是()。A．3π平方米B．9π平方米C．2.25π平方米D．1.5π平方米11、一只蜘蛛织了一个圆形网，最大外围周长是25.12分米。求这张蜘蛛网最大捕虫面积，正确的列式是()。A．3.14×25.12×25.12B．3.14×(25.12)2C．3.14×(25.12÷3.14÷2)2D．3.14×25.1212、两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是6分米，当另一个轮子转一周时，它要转3周，另一个轮子的直径是()分米。A．2B．3C．6D．1813、等腰梯形的面积是54平方厘米，上底是5厘米，下底是13厘米。若要在这个等腰梯形内剪下一个面积最大的圆，这个梯形还剩下()平方厘米。A．28.26B．25.74C．19.625D．34.37514、图中外面一个圆的周长与里面两个小圆周长之和相比，应是()。A．外圆的周长长B．一样长C．两个里圆周长之和长D．无法确定15、解放牌汽车轮胎外直径是1.02米，每分钟转50圈。求每分钟车轮前进多少米?正确列式是()。A．1.02×3.14×60B．1.02×3.14×50×60C．1.02×3.14×50D．(1.02÷2)2×3.14×50×6016、一个圆形花圃的周长是50.24米，在它的里面留出83的面积培育花苗。求培育花苗的面积，正确列式为()平方米。A．50.24×83B．3.14×(50.24÷3.14÷2)×83C．3.14×50.24＋3.14÷22×837D．3.14×(50.24÷3.14÷2)2×8317、钟面上，分针和时针走过的轨迹都是圆，这两个圆是()。A．面积相等B．周长相等C．同心圆D．同一个圆18、用四根同样长的铁丝分别围成平行四边形、长方形、正方形和圆。其中面积最大的是()。A．平行四边形B．长方形C．正方形D．圆四、计算1、已知r＝2.5厘米，求C、S；2、已知d＝2.4分米，求C、S；3、已知C＝9.42米，求r、d、S。五、解答下面各题1、在一个直径是7米的土地上围一道木栅栏，这道木栅栏平均每7厘米插一根细木棍(木棍粗细不计)，需要这样的木棍多少根?若在围成的土地上种上草皮，则需要多少平方米的草皮?2、一个环形铁片，外圆直径0.4米，环宽0.1米。这环形铁片的面积是多少平方米?3、要在一块直径2分米的半圆形钢板上取一个最大的三角形，它的面积应是多少?三角形的面积占这块钢板面积的几分之几?4、一个圆的半径是2米，一个长方形的长等于圆的周长，宽等于这个圆的直径，它们的面积相差多少?5、一根铅丝长62.8厘米，把它围成两个大小相等的圆形。这根铅丝可围成的面积有多大?6、右图中，AB＝BC＝CD＝2厘米，分别求出大、中、小圆的周长和面积。7、台钟的分针长6厘米，时针长5厘米，从星期一上午8点到星期二上午8点，分针和时针的尖端各走了多少厘米?8、有一跑道，内侧周长是400米。(1)小明以每小时18千米的速度跑100米，需要多少时间?(2)跑道每一边的直跑道长多少米?已知R＝42米，r＝35米。(3)如果小明和小刚跑步比赛，各跑一圈，小明跑内圈，小刚跑外圈，8两人的起跑点应相距多少米?9、小明从家里到学校有三条路可走，如图，走哪一条路最近?10、用10米长的席子围成一个底面是圆形的粮囤，已知两头相接重叠处占去0.58米，这个粮囤占地面积有多大?11、圆形花坛周围是一条环形小路，花坛直径4米，小路宽2米，这条环形小路占地多少平方米?12、大雪后的早晨，小华和爸爸踏着积雪，一前一后沿着一个圆形水池从同一起点朝同一方向跑步锻炼。爸爸每步跑50厘米，小华每步跑30厘米。雪地上脚印时有重合，一圈跑下来，共留有1099个脚印。这个水池直径有多少米?13、两个车轮滚过同一段距离，甲车轮转了50圈，乙车轮转的圈数是甲车轮的54，甲车轮周长比乙车轮少31.4厘米，这两个车轮的直径各是多少?14、如图，两个圆的半径都增加1分米，哪个圆的周长增加得多?15、小红像A图转圈跑，小兰像B图转圈跑，小青像C图转圈跑，如图，A图圆的直径等于B图圆直径的和，也等于C图圆直径的和，她们以同样的速度同时从A、B、C三点出发，再跑到出发点，你看谁先到达终点?二、扇形如右图，圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”；顶点在圆心，两条半径之间的∠1，即顶点在圆心的角叫做圆心角。由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分，是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，如图。在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有