专题研究导数的综合运用

第1页高考调研·高三总复习·数学（理）专题研究导数的综合运用第2页高考调研·高三总复习·数学（理）专题讲解第3页高考调研·高三总复习·数学（理）题型一导数与函数图像例1(2016·南通一调)已知函数f(x)＝1ln（x＋1）－x，则y＝f(x)的图像大致为()第4页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】令g(x)＝ln(x＋1)－x，g′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1.∴当－1x0时，g′(x)0，当x0时，g′(x)0.∴g(x)max＝g(0)＝0.∴f(x)0，排除A，C，又由定义域可排除D，故选B.【答案】B第5页高考调研·高三总复习·数学（理）探究1给定解析式选函数的图像是近几年高考重点，并且难度在增大，多数需要利用导数研究单调性知其变化趋势，利用导数求极值(最值)研究零点．第6页高考调研·高三总复习·数学（理）思考题1(2016·杭州质检)设函数f(x)＝x2sinx，则函数f(x)的图像可能为()第7页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】因为f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝2xsinx＋x2cosx，所以f′(0)＝0，排除A；且当x∈[0，π]时，函数值为正实数，排除B；当x∈(π，2π)时，函数值为负实数，排除D，故选C.【答案】C第8页高考调研·高三总复习·数学（理）题型二导数与不等式例2(2016·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln2－1且x0时，exx2－2ax＋1.第9页高考调研·高三总复习·数学（理）【思路】(1)令f′(x)＝0，求极值点，然后讨论在各个区间上的单调性．(2)构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，可利用导数求解．第10页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)2(1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．第11页高考调研·高三总复习·数学（理）(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当aln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)0.于是对任意x∈R，都有g′(x)0，所以g(x)在R内单调递增．于是当aln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)0.即ex－x2＋2ax－10，故exx2－2ax＋1.第12页高考调研·高三总复习·数学（理）【答案】(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值2(1－ln2＋a)(2)略第13页高考调研·高三总复习·数学（理）探究2利用导数工具，证明不等式的关键在于要构造好函数的形式，转化为研究函数的最值或值域问题，有时需用到放缩技巧．求证不等式f(x)≥g(x)，一种常见思路是用图像法来说明函数f(x)的图像在函数g(x)图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过导数研究函数F(x)的性质，进而证明欲证不等式．第14页高考调研·高三总复习·数学（理）思考题2(2015·北京理)已知函数f(x)＝ln1＋x1－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求证：当x∈(0，1)时，f(x)2(x＋x33)；(3)设实数k使得f(x)k(x＋x33)对x∈(0，1)恒成立，求k的最大值．第15页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】(1)因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，所以f′(x)＝11＋x＋11－x，f′(0)＝2.又因为f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.第16页高考调研·高三总复习·数学（理）(2)令g(x)＝f(x)－2(x＋x33)，则g′(x)＝f′(x)－2(1＋x2)＝2x41－x2.因为g′(x)0(0x1)，所以g(x)在区间(0，1)上单调递增．所以g(x)g(0)＝0，x∈(0，1)，即当x∈(0，1)时，f(x)2(x＋x33)．第17页高考调研·高三总复习·数学（理）(3)由(2)知，当k≤2时，f(x)k(x＋x33)对x∈(0，1)恒成立．当k2时，令h(x)＝f(x)－k(x＋x33)，则h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝kx4－（k－2）1－x2.所以当0x4k－2k时，h′(x)0，因此h(x)在区间(0,4k－2k)上单调递减．第18页高考调研·高三总复习·数学（理）当0x4k－2k时，h(x)h(0)＝0，即f(x)k(x＋x33)．所以当k2时，f(x)k(x＋x33)并非对x∈(0，1)恒成立．综上可知，k的最大值为2.【答案】(1)y＝2x(2)略(3)2第19页高考调研·高三总复习·数学（理）题型三导数与方程例3(2016·德州一模)已知函数f(x)＝lnx－12ax2－2x.(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(3)当a＝－12时，关于x的方程f(x)＝－12x＋b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．第20页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】(1)f′(x)＝－ax2＋2x－1x(x0)，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴f′(2)＝0，解得a＝－34，经检验知符合题意．第21页高考调研·高三总复习·数学（理）(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意f′(x)≥0在x0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x0恒成立，则a≤1－2xx2＝(1x－1)2－1在x0恒成立，即a≤[(1x－1)2－1]min(x0)，当x＝1时，(1x－1)2－1取最小值－1，∴a的取值范围是(－∞，－1]．第22页高考调研·高三总复习·数学（理）(3)a＝－12，f(x)＝－12x＋b，即14x2－32x＋lnx－b＝0.设g(x)＝14x2－32x＋lnx－b(x0)，则g′(x)＝（x－2）（x－1）2x.第23页高考调研·高三总复习·数学（理）列表x(0，1)1(1，2)2(2，4)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值∴g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－54.又g(4)＝2ln2－b－2.第24页高考调研·高三总复习·数学（理）∵方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，则g（1）≥0，g（2）0，g（4）≥0，解得ln2－2b≤－54.【答案】(1)－34(2)(－∞，－1](3)ln2－2b≤－54第25页高考调研·高三总复习·数学（理）探究3讨论方程根的个数或函数的零点，关键根据题意，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析解决．第26页高考调研·高三总复习·数学（理）思考题3(2015·北京文)设函数f(x)＝x22－klnx，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值．(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．第27页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】(1)由f(x)＝x22－klnx(k0)，得f′(x)＝x－kx＝x2－kx.由f′(x)＝0，解得x＝k.f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：x(0，k)k(k，＋∞)f′(x)－0＋f(x)k（1－lnk）2第28页高考调研·高三总复习·数学（理）所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)；f(x)在x＝k处取得极小值f(k)＝k（1－lnk）2.第29页高考调研·高三总复习·数学（理）(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k（1－lnk）2.因为f(x)存在零点，所以k（1－lnk）2≤0，从而k≥e.当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．第30页高考调研·高三总复习·数学（理）当ke时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝120，f(e)＝e－k20，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．第31页高考调研·高三总复习·数学（理）【答案】(1)减区间为(0，k)，增区间为(k，＋∞)，极小值k（1－lnk）2(2)略第32页高考调研·高三总复习·数学（理）题型四导数与最优化问题例4(2016·江苏连云港二调)一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)．第33页高考调研·高三总复习·数学（理）(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求θ的值，使体积V最大；(3)问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．第34页高考调研·高三总复习·数学（理）【解析】(1)梯形ABCD的面积S梯形ABCD＝2cosθ＋22·sinθ＝sinθcosθ＋sinθ，θ∈(0，π2)．体积V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈(0，π2)．第35页高考调研·高三总复习·数学（理）(2)V′(θ)＝10(2cos2θ＋cosθ－1)＝10(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令V′(θ)＝0，得cosθ＝12或cosθ＝－1(舍)．∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.当θ∈(0，π3)时，12cosθ1，V′(θ)0，V(θ)为增函数；当θ∈(π3，π2)时，0cosθ12，V′(θ)0，V(θ)为减函数．∴当θ＝π3时，体积V最大．第36页高考调研·高三总复习·数学（理）(3)木梁的侧面积S侧＝(AB＋2BC＋CD)·10＝20(cosθ＋2sinθ2＋1)，θ∈(0，π2)．S＝2S梯形ABCD＋S侧＝2(sinθcosθ＋sinθ)＋20(cosθ＋2sinθ2＋1)，θ∈(0，π2)．第37页高考调研·高三总复习·数学（理）设g(θ)＝cosθ＋2sinθ2＋1，θ∈(0，π2)．∵g(θ)＝－2sin2θ2＋2sinθ2＋2，∴当sinθ2＝12，即θ＝π3时，g(θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sinθcosθ＋sinθ取得最大值，∴θ＝π3时，木梁的表面积S最大．综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．第38页高考调研·高三总复习·数学（理）【答案】(1)V(θ)＝10(sinθcosθ＋sinθ)，θ∈(0，π2)(2)θ＝π3时，V最大(3)体积V最大时，表面积S也最大第39页高考调研·高三总复习·数学（理）探究4生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．第40页高考调研·高三总复习·数学（理）思考题4某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两端桥墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相