高中数学立体几何题库全练习[1]

选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库立体几何基础题题库二（有详细答案）361.有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面?解析：有5个暴露面.如图所示，过V作VS′∥AB，则四边形S′ABV为平行四边形，有∠S′VA=∠VAB=60°，从而ΔS′VA为等边三角形，同理ΔS′VD也是等边三角形，从而ΔS′AD也是等边三角形，得到以ΔVAD为底，以S′与S重合.这表明ΔVAB与ΔVSA共面，ΔVCD与ΔVSD共面，故共有5个暴露面.362.若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是.(只须写出一个可能的值)解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的.排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且VA—BCM=VD—BCM，所以VABCD=31SΔBCM·AD.CM=22DMCD=22)21(2=215.设N是BC的中点，则MN⊥BC，MN=22CNCM=1415=211，从而SΔBCM=21×2×211=211，故VABCD=31×211×1=611.选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=122·)bac)(acb)(cba(222222222，不妨令a=b=2，c=1，则V=122·)441)(414)(144(=122·7=1214.363.湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，求该球的半径.解析：设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：r2+d2＝R2,即122+(R-8)2＝R2.得R＝13∴该球半径为13cm.364.在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为S′，则Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝63π(米2)365.设棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA＝MD，MA⊥AB，如果ΔAMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解析：∵AB⊥AD，AB⊥MA，∴AB⊥平面MAD，由此，面MAD⊥面AC.记E是AD的中点，选校网⊥AD.∴ME⊥平面AC，ME⊥EF设球O是与平面MAD、AC、平面MBC都相切的球.不妨设O∈平面MEF，于是O是ΔMEF的内心.设球O的半径为r，则r＝MFEMEFSMEF△2设AD＝EF＝a,∵SΔAMD＝1.∴ME＝a2.MF＝22)2(aa,r＝22)2(22aaaa≤2222＝2-1当且仅当a＝a2，即a＝2时，等号成立.∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.366.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，期棱长为a.(1)求证BD⊥截面AB1C；（若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影，则这条直线垂直于这条斜线）(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。111:DDBDAC证明面ABCDBDAC同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=2aAG=36323a22a∴BG=222229396)36(aaaaa=33a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=363611aaBBGB367.已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．解析：因M为PB的中点，连BD∩AC于O后，可将PD缩小平移到MO，可见MO为所求作的平行线．证明连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．368.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M，N，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A1D1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直线A1E与MF所成的角．解析：（１）要证A1E⊥平面ABMN，只要在平面中找到两条相交直线与A1E都垂直，显然MN与它垂直，这是因为MN⊥平面A1ADD1，另一方面，AN与A1E是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．证明（１）∵AB⊥平面A1ADD1，而Ａ1Ｅ平面A1ADD1，∴AB⊥Ａ1Ｅ．在平面A1ADD1中，A1E⊥AN，∵AN∩AB＝A，∴A1E⊥平面ABMN．解（２）由（１）知A1E⊥平面ABMN，而MF平面ABMN，∴A1E⊥MF，则A1E与MF所成的角为９０°369.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察A1O垂直DB吗？方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明取CC1中点M，连结MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=22，tan∠MOC=22，∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．370.点P在线段AB上，且AP∶PB＝１∶２，若A，B到平面α的距离分别为a，b，求点P到平面α的距离．解析：（１）A，B在平面α的同侧时，P平面α的距离为323132baba；（２）A，B在平面α的异侧时，P平面α的距离为32)(3132baba．点评一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．371.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（）（Ａ）有且只有一个（Ｂ）可能存在也可能不存在（Ｃ）有无数多个（Ｄ）一定不存在（Ｂ）解析：若存在，则a⊥b，而由条件知，a不一定与b垂直．372.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于（）选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库（Ａ）AC（Ｂ）BD（Ｃ）A1D（Ｄ）A1D1解析：（Ｂ）BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面A1ACC1，∴BD⊥CE．373.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个解析：D过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求374.P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是（）（Ａ）１（Ｂ）２（Ｃ）3（Ｄ）４解析：（A）设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2+h2=5,b2+h2=13,a2+b2+h2=17,∴h=1．375.线段AB的两个端点A，B到平面α的距离分别为6cm,9cm,P在线段AB上，AP：PB＝１：２，则P到平面α的距离为．解析：７cm或１cm．分A，B在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P到平面α的距离为319326＝７（cm），异侧时，P到平面α的距离为319326＝１（cm）．376.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同一侧，则△ABC的重心到平面α的距离为．解析：3cm．3543＝3cm．377.Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝６，BC＝８，EC⊥平面ABC，且EC＝１２，则ED＝．解析：１３．AB＝１０，∴CD＝５，则ED＝22125＝１３．378.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：（１）A1B与平面A1B1CD所成的角；（２）B1B在平面A1C1B所成角的正切值．解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．（１）先找到斜足A1，再找出B在平面A1B1CD内的射影，即从B向平面A1B1CD作垂线，一定要证明它是平面A1B1CD的垂线．这里可证BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影．（２）若将平面D1D1BB竖直放置在正前方，则A1C1横放在正前方，估计B1B在平面A1C1B内的射影应落在O1B上，这是因为A1C1⊥平面D1DBB1，∴故作B1H⊥O1B交于H时，BH1⊥A1C1，即H为B1在平面A1C1B内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B1BO1即可．解析：（１）如图，连结BC1，交B1C于O，连A1O．∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，∴A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，选校网专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库∴BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足，∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，则∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．sin∠BA1O＝211BABO，∴∠BA1O＝３０°．（２）连结A1C1交B1D1于O1，连BO1，作B1H⊥BO1于H．∵A1C1⊥平面D1DBB1，∴A1C1⊥B1H．又B1H⊥BO1，A1C1∩BO1＝O1，∴B1H⊥平面A1C1B，∴∠B1BO1为B1B与平面A1C1B所成的角，tan∠B1BO=22111BBOB，即B1B与平面A1C1B所成的角的正切值为22．379.Rt△ABC中，∠C＝９０°，BC