求曲线上任意一点的曲率半径

求曲线上任意一点的曲率半径已知曲线的方程为𝑦=𝑓(𝑥)将其以t为参数,改写为参数方程形式{𝑥=𝑡𝑦=𝑓(𝑡)我们可以把它视作一个质点的运动方程组,其中,在水平方向是速度为1的匀速运动,在竖直方向是运动方程为y=f(t)的某种未知运动.将x和y分别对t求一阶导数得到速度{𝑣𝑥=d𝑥d𝑡=1𝑣𝑦=𝑑𝑦𝑑𝑡=𝑓′(𝑡)再将x和y对t求二阶导数得加速度{𝑎𝑥=d2𝑥d𝑡2=0𝑎𝑦=d2𝑦d𝑡2=𝑓′′(𝑡)在水平方向无加速度.从圆周运动的向心加速度公式𝑎𝑛=𝑣2𝑅可以推得曲率半径的表达式为𝜌=𝑣2𝑎𝑛其中an为ay在与速度v垂直方向的分量.由图中得𝑎𝑛=𝑎𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃,而ayanvθθ𝑐𝑜𝑠𝜃=√1𝑡𝑎𝑛2𝜃+1=√1[𝑓′(𝑥)]2+1𝑣2=𝑣𝑥2+𝑣𝑦2所以,𝜌(𝑥)=𝑣𝑥2+𝑣𝑦2𝑎𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃=1+[𝑓′(𝑡)]2𝑓′′(𝑡)√1[𝑓′(𝑥)]2+1因为x=t,故𝜌(𝑥)={1+[𝑓′(𝑥)]2}32𝑓′′(𝑥)ρ为正,说明曲率半径在曲线的上方，反之在下方.