(整理)几何变换的综合题目

..................................关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1．（05北京）已知ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．（1）如图1，当ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；（2）如图2，当ABC中只有60ACB时，请你证明ABCS与ABDS的和等于BCES与ACFS的和．图1图2..................................图88765421EODCBA3（2）解法二：过A作垂线，利用60ACB将BC用AC、BC表示出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题，但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2.（2008年广东省中山市）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.解：（1）如图7.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°.同理，∠6=30°.∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.（2）如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵OD=OA,∴OD＝OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°,CBOD图7ABAODCE图8MABCDEF图7O654321EDCBA..................................∴2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！例1（2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线CA剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中ACB，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，EFD纸片的直角顶点D落在ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上.（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当EFD纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出BMD的大小（用含的式子表示），并说明当45°时，BMD是什么三角形？（3）在图3的基础上，将EFD纸片绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时CGD变成CHD，同样取AH的中点M，连接MB、MD（如图4），请继续探究MB与MD的数量关系和BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，BMD为等边三角形.解：（1）MB=MD证明：∵AG的中点为M∴在ABGRt中，AGMB21ABCDABCDEF图1图2ABCDEFGM图3ABCDEFMH图4..................................在ADGRt中，AGMD21∴MB=MD（2）∵BAMABMBAMBMG2同理DAMADMDAMDMG2∴BMD=DAMBAM22=BAC2而090BAC∴21800BMD∴当045时，090BMD，此时BMD为等腰直角三角形（3）当CGD绕点C逆时针旋转一定的角度，仍然存在MB=MD，21800BMD故当060时，BMD为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【阅读题类】4．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点ABE，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC，．若60ABCBEF，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．解：（1）线段PG与PC的位置关系是PGPC；PGPC3．（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP交AD于点H，连结CHCG，．P是线段DF的中点，FPDP．由题意可知ADFG∥．GFPHDP．DABEFCPG图1DCGPABEF图2DCGPABEFH..................................GPFHPD，GFPHDP△≌△．GPHP，GFHD．四边形ABCD是菱形，CDCB，60HDCABC．由60ABCBEF，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得60GBC．HDCGBC．四边形BEFG是菱形，GFGB．HDGB．HDCGBC△≌△．CHCG，DCHBCG．120DCHHCBBCGHCB．即120HCG．CHCG，PHPG，PGPC，60GCPHCP．3PGPC．本题为阅读理解题，阅读材料，从中获取解题方法与思路，并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5．（2008盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；ABCDEF第28题图图甲图乙FEDCBAFEDCBA图丙..................................②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90º．∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90º，AB=AC，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD（2）画图正确当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º．即CF⊥BD更开放，难度更大，在探究的过程中发现我们要寻找的结论。【坐标系中的变换——与代数的结合】例2（2008苏州）课堂上，老师将图①中AOB△绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化．当AOB△旋转90时，得到11AOB．已知(42)A，，(30)B，．（1）11AOB△的面积是；1A点的坐标为（，）；1B点的坐标为（，）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中AOB△绕AO的中点(21)C，逆时针旋转90得到AOB△，设OB交OA于D，OA交x轴于E．此时A，O和B的坐标分别为(13)，，(31)，和(32)，，且OB经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与AOB△重叠部分的面积不断变小，旋转到90时重叠部分的面积（即四边形CEBD的面积）最小，求四边形CEBD的面积．（3）在（2）的条件下，AOB△外接圆的半径等于．证明：（1）3．1(24)A，，1(03)B，（2）作CGBD于G，CHx轴于H，yx1111B1A1A(4，2)B(3，0)O图①yx1111A(4,2)B(3,0)O图②A(1,3)B(3,2)DO(3,-1)CEyx111A(4,2)B(3,0)OA(1,3)B(3,2)DCGHE图丁GABCDEF..................................BB，的横坐标相等，BBx轴，四边形CHBG为矩形．又1CGCH，矩形CHBG为正方形．90HCG．90ECD，HCEGCD．在HCE△和GCD△中，90CHECGDCHCGHCEGCDHCEGCD△≌△．1CHBGCEBDSS正方形四边形．（3）52．这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，融丰富的几何图象于一题，包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法.7．（金华）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（3,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使△OPD的面积等于34,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F.由已知得BF=OE=2,OF=2242=23∴点B的坐标是(23，2)..................................设直线AB的解析式是y=kx+b，则有4223bkb解得334kb∴直线AB的解析式是y=33x+4(2)如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，∴△ABD≌△AOP，∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，∴∠DAP=∠BAO=600，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AP=224(3)19.如图，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.在Rt△BDG中，∠BGD=900,∠DBG=600.∴BG=BD•cos600=3×12=32.DG=BD•sin600=3×32=32.∴OH=EG=532,DH=72∴点D的坐标为(532,72)(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于34.设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:①当t＞0时，如图，BD=OP=t,DG=32t,∴DH=2+32t.∵△OPD的面积等于34，∴133(2)224tt，解得121233t,221233t(舍去).∴点P1的坐标为(21233,0)②当433＜t≤0时，如图，BD=OP=－t,BG=－32t,∴DH=GF=2－（－32t）=2+