函数的逼近

高等微积分讲义11.1第11讲函数的逼近§1用多项式逼近函数上面讨论了幂级数的性质以及如何应用幂级数之性质来解决问题。这里我们提出一个新的问题。函数展开为幂级数说明可以用幂级数来逼近一个函数，实际上就是用n次多项式来逼近函数。但这里有一个很强的条件，即：函数应是解析的，至少应是无穷次可微的，而对于一般的连续函数，是否有类似的结论呢？也就是说，能否找到函数列（多项式函数列）一致收敛于连续函数呢？下面的定理给出了肯定的回答。定理1：（Weierstrass）设：()[],fxab∈C，则：0ε∀，()Px∃（多项式函数），使得：[]()(),maxabfxPxε−。证明：该定理至少有下面的两种证法。证法一：Bernstein证明（构造性证明）无妨设：[][],0,1ab=，考虑恒等式：()()0111nnknkknkCxxxx−=−=+−=∑令：()()01nnkkknnkkBxfCxxn−=⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑（Bernstein多项式）下面证明：()[]()0,1nBxfx⎯⎯⎯→。首先，考虑到：()()()()()()0011nnkkknnknnkkknkkBxfxffxCxxnkffxCxxn−=−=⎡⎤⎛⎞−=−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎛⎞≤−−⎜⎟⎝⎠∑∑由于()fx在[],ab上一致连续，因而上式求和号中，与x点接近的kn点的函数值kfn⎛⎞⎜⎟⎝⎠与()fx之差可以充分小，而其他点的和则可以应用()1nkkknCxx−−很小的性质。即：0ε∀，0δ∃，当kxnδ−时，()2kffxnε⎛⎞−⎜⎟⎝⎠；因而：()()12nBxfxσσ−≤+，其中：无穷乘积11.2()()11nkkknkxnkffxCxxnδσ−−⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑，()()21nkkknkxnkffxCxxnδσ−−≥⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠∑；对于1σ，有：()1122nkkknkxnCxxδεεσ−−−≤∑；对于2σ，由于：()fxM≤（连续函数有界），因而：()221nkkknkxnMCxxδσ−−≥≤−∑，下面要证明n充分大以后，2σ充分小。利用下列不等式1：()()()20114nnkkknknCknxxxnxx−=−−=−≤∑，从而有：()()()()()()2222222220212121212nknkkkkknnkkxxnnnkkknkxnnnkkknkkxnMCxxMCxxMCknxxxnMMCknxxxnnδδδσδδδδ−−−≥−≥−−≥−=⎛⎞−⎜⎟≤−≤−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠=−−≤−−≤∑∑∑∑1不等式的证明：由于：()0nnkknknkCuvuv−==+∑，两边对变量u求导，得：()110nnkknknkkCuvnuv−−−==+∑；两边同乘以u，再对变量u求导，得：()()2210nnkknknkkCuvnnuvuv−−−==++∑；上述式子中令ux=，1vx=−，得到：()011nnkkknkCxx−=−=∑；()01nnkkknkkCxxn−=−=∑；()()2011nnkkknkkCxxnxxnx−=−=−+∑；因此，我们有：()()()()()()()2200220022112111214nnnknkkkkknnkknnnknkkkkknnkkCknxxxkCxxnxkCxxnxCxxnnxxnxnxnnxnxx−−==−−==−−=−−−+−=−+−+=−≤∑∑∑∑i高等微积分讲义11.3所以，对于0ε，20MNεδ⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当nN时，有22εσ即：0ε，0N∃，当nN时，[]0,1x∀∈，()()12nBxfxσσε−≤+所以()[]()0,1nBxfx⎯⎯⎯→。注记：我们知道，有理数在实数中稠密，Weierstrass定理说，有界闭区间上多次式函数在连续函数中稠密。证法二：（Lebesgue证明）（存在性证明）该证明可以分成如下五个步骤：①x在[]0,2上可以用多项式一致逼近；该结论同样可以用两种方法证明：方法一：由于()01nnnxxαα∞=⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠∑当0α时在1x≤上一致收敛，因而()0112nnnxx∞=⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∑在[]0,2上一致收敛，其中：()()()()111111121!!2221!212!!2nnnnnnn−⎛⎞⎛⎞−−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎝⎠iii。方法二：令()00ux=，()()()()2112nnnuxuxxux+=+−，[]0,1x∈；则由归纳法知：()nux为多项式函数，且：()()()()()()()211122nnnnnxuxxuxxuxxuxxux+⎡⎤+−=−−−=−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦应用归纳法易知：()0nuxx≤≤，所以：()()()()()()()()11212012112212nnnnnnxuxxuxxuxxxxuxxuxxx−−−−⎡⎤+≤−≤−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎞⎛⎞≤−−≤−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞≤≤−⎜⎟⎜⎟⎝⎠另一方面，11111111222222nnnnxxxxnxCx++⎛⎞⎛⎞⎛⎞+=−+≥−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠无穷乘积11.4所以：()201nxuxn≤−≤+因而：()[]0,1nuxx⎯⎯⎯→。②x在[],cc−上可以用多项式函数一致逼近；（0c∀常数）由①，设()[]0,1npxx⎯⎯⎯→，令：()22nnxqxcpc⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则有：()[]2,2ccnxqxcxc−⎯⎯⎯→=。③()2xxxλ+=在[],cc−上可以用多项式一致逼近；这是最简单的折线函数。④任给[],ab上的折线函数()xΛ，则有：()()()011mmxccxxcxxλλΛ=+−++−，因而定义在[],ab上的任意折线函数可用多项式一致逼近。设()xΛ的转折点为121mmaxxxxb+==，显然：01,,,mccc∀，()()011mmccxxcxxλλ+−++−是折线函数，为了使()()()011mmccxxcxxxλλ+−++−=Λ，只需下列方程有解：()()01mkikikccxxxλ=+−=Λ∑，()1,2,,1im=+，即：()()()()1021100111011111000100101mmmmmmmmmmmmxcxcxxxxxxcxxxxxxxcx−−++−++Λ⎛⎞⎛⎞⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎢⎥Λ−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎜⎟−−Λ⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥−−−⎜⎟Λ⎣⎦⎝⎠⎝⎠有解，而这是显然的。⑤有界闭区间上任意连续函数均可用折线函数一致逼近。设()[],fxab∈C，由于()fx在[],ab上一致连续，由定义：0ε∀，0δ∃，当xxδ′′′−时，()()fxfxε′′′−，因而将[],ab分割：0121mmaxxxxxb+==,使得：1kkxxδ+−，0,1,,km=，并定义折线()xΛ如下：()()()()()11kkkkkkfxfxxfxxxxx++−Λ=+−−，[]1,kkxxx+∈，0,1,,km=，高等微积分讲义11.5若令：()11kkkkxxxxxα++−=−，()1kkkkxxxxxβ+−=−，则有：()()1kkxxαβ+=，从而()()()()()1kkkkxfxxfxxαβ+Λ=+，[]1,kkxxx+∈，0,1,,km=，[],xab∀∈，必存在[]1,kkxx+，使得：[]1,kkxxx+∈，因此：()()()()()()()()()()()()()11kkkkkkkkfxxfxfxxfxxxfxfxxfxfxαβαβε++−Λ=−−≤−+−因此连续函数可用折线函数一致逼近。从上面讨论可知，连续函数可用折线函数一致逼近，而折线函数可用我项式一致逼近，因而，连续函数可用多项式一致逼近。证毕定理2：（Weierstrass第二逼近定理）设：()2fxπ∈C（以2π为周期的连续函数）则0ε∀，存在三角多项式()Tx，使得：()()fxTxε−。注：所谓三角多项式()Tx是指()()cos,sinTxPxx=，(),Puv是,uv的二元多项式函数。证明：分三步进行证明。①若()[]0,gxπ∈C，则0ε∀，存在偶三角多项式()Tx，使得：()()maxgxTxε−；由于()[]arccos1,1gy∈−C，所以根据定理1，存在多项式()Py，满足：()()1maxarccosygyPyε≤−，即有：[]()()0,maxcosxgxPxπε∈−②若()[]0,2gxπ∈C且为偶函数，则存在偶三角多项式()Tx，使得：()()(),maxgxTxε−∞∞−；由于当[],2xππ∈时，()()()2gxgxgxπ=−=−，[]20,xππ−∈，因而只需将①中的()Tx作偶周期开拓即满足条件。③设()2fxπ∈C，令：()()()1xfxfxϕ=+−是偶函数，则由②，存在偶三角多项式()1Tx，使得：()()()11,maxxTxϕε−∞∞−；另一方面，()()()2sinxfxfxxϕ=−−⎡⎤⎣⎦也是偶函数，同理由②，存在偶三角多项式()2Tx，使得：()()()22,maxxTxϕε−∞∞−；再令：()()()2312sinsinTxTxxTxx=+，无穷乘积11.6由于有：()()()122sinsinfxxxxxϕϕ=+，所以：()()()()()()()()()23123211222sinsinsinsinsin2fxxTxxxxxTxxTxxxTxxϕϕϕϕε−=+−⎡⎤⎣⎦≤−+−；上述不等式对于()2fxπ∀∈C成立，因此对于22fxππ⎛⎞−∈⎜⎟⎝⎠C也成立，即：()4Tx∃，满足：()242sin22fxxTxπε⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠，改变变量名称2xxπ→+，即有：()242cos22fxxTxπε⎛⎞−+⎜⎟⎝⎠；最后令：()()534122TxTxTxπ⎡⎤⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦，有：()()()()()()()53422341222112sin2cos2222fxTxfxTxTxfxxTxfxxTxππε⎛⎞−=−−+⎜⎟⎝⎠⎛⎞≤−+−+⎜⎟⎝⎠即结论成立。证毕高等微积分讲义11.7§2函数项级数的应用，两个例子级数所表示的函数可以考虑连续性、可导性等，并且一般说来是非初等函数。下面就介绍两个例子，一个是“处处连续处处不可导的函数”，另一个则是一条充满正方形内之连续曲线，它们均应用到了上面函数项级数之性质。1处处连续处处不可导之函数关于连续性与可微性的关系，一直是困扰人们的问题。在我们所接触到的初等函数或积分定义的函数中，连续函数的不可导点总是若干孤立的点。而这里介绍的例子则说明存在处处连续处处不可导的函数。先考虑：()xxmϕ=−，11,22xmm⎡⎤∈−+⎢⎥⎣⎦，m∈Z，它是周期为1在R上连续的函数。满足()102xϕ≤，如右图。令：()()44kkkxxϕϕ=，0,1,2,k=，则()(),kxϕ∈−∞+∞C，以14k为周期，并且()1024kkxϕ≤≤⋅，特别地，()kxϕ在12,44kkmm⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠上斜率为1−，在12,44kkmm⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠上斜率为1+。令()()0kkfxxϕ∞==∑，由于()1024kkxϕ≤≤⋅，而且级数0124kk∞=∑i收敛，由控制判别法知这是一个一致收敛之级数，因此()(),fx∈−∞∞C。下面讨论()fx之可导性。0x∀∈R，n∀∈N，nm∃∈N，使得：10241nnnmxm−≤+ii，即：01112424nnnnmmx−−+≤ii所以：111,2424nnnnnmmx−−+⎡⎞∃∈⎟⎢⎣⎠ii，使得：014nnxx−=，因而：()()()()00000nknkknnfxfxxxxxxxϕϕ∞=−−=−−∑当kn≥时，()kxϕ的周期14k是014nnxx−=之因子，所以()()0knkxxϕϕ=，因此：无穷乘积11.8()()()()100000nnknkknnfxfxxxxxxxϕϕ−=−−=−−∑而kn时，()kxϕ在区间111,2424kk