“等时圆”物理专题

1妙用“等时圆”解物理问题一、什么是“等时圆”2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2t3B.t1t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，mamgcos①再由几何关系，细杆长度cos2RL②设下滑时间为t，则221atL③由以上三式得，gRt2可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t＝2Rg(如图甲所示)．(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2Rg(如图乙所示)．象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，即图2图a图b图12gRgRgdt2420（式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为singa，位移为sinds，所以运动时间为gdgdast2sinsin220即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.推导设圆环沿细杆AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图2所示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsinθ，由几何关系有AB=x=2Rsinθ，由运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明1如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有2Rsinθ=12（gsinθ—μgcosθ）t2，解得t=2Rsinθgsinθ—μgcosθ=2Rg—μgcotθ，θ增大，时间t减小，规律不成立.二、“等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解．1、可直接观察出的“等时圆”例1：如图3，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。【变式训练1】如图所示，AB和CD是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半径为R和r的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点P.设有一个重物先后沿斜槽从静止出发，从A滑到B和从C滑到D，所用的时间分别等于t1和t2，则t1和t2之比为()A．2∶1B．1∶1C.3∶1D．1∶2例4：圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（）A.t1t2B.t1=t2C.t1t2D.无法判断图3A图83解：因AB、CD处在两个“等时圆”上，所以正确答案为B。例2：如图4，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为600，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）。已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点。则：（）A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta=gR4=2gR，tbta；c做自由落体运动tc=gR2；而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，td=4T=2gR，所以C正确。tb＞ta＞td＞tc.解【析】如图所示，令圆环半径为R，则c球由C点自由下落到M点用时满足R＝12gt2c，所以tc＝2Rg；对于a球令AM与水平面成θ角，则a球下滑到M用时满足AM＝2Rsinθ＝12gsinθt2a，即ta＝2Rg；同理b球从B点下滑到M点用时也满足tb＝2rg(r为过B、M且与水平面相切于M点的竖直圆的半径，r＞R)．综上所述可得tb＞ta＞tc.三个相同小球从a点沿ab、ac、ad三条光滑轨道从静止释放，哪个小球先运动到最低点？解析：设斜面侧边长为l，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为singa，物体的位移为sinlx。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得2sin21sintgl，得2sin2glt，l、g一定，所以越大时，下滑所用时间越短奇妙的等时圆——2004年全国高考理科综合第15题的解析与应用从一道高考题得到的一个重要结论及其应用2004年高考试题：如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图ABCDM图4图14中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1t2t3B.t1t2t3C.t3t1t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2，由牛顿第二定律得，mamgcos①由几何关系，细杆长度cos2RL②设下滑时间为t，则221atL③由以上三式得，gRt2可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。结论：①物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。②物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周低端的时间相等。我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”的应用。例1：如图4所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。例2：两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？解：构想一辅助圆如图6所示：在AF上取一点O，使OA=OC，以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，AEACtt，由机械能守恒定律可知：ECvv，DBvv，所以EDBCvv。又因为两斜面的总长度相等，所以DEBCss，根据tsv得，EDBCtt，所以有乙甲tt，即乙球先到达斜面底端。2.在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图11）从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）答案：如图12，把AO延长到C，使OC=OA=10cm，则点O到A、B、C三点的距离相等。以O为圆心，OA为半径作圆，则B、C一定在AOBC30°图1图3图4图2图5图6图11图125该圆的圆周上，由结论可知，物体从A到B的时间与从A到C的时间相等，即210/202/2gACttACABs。【例1】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）A．2s和2sB．s2和2sC．s2和4sD．4s和s2解析：由于CO=OB=OA，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图2所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对钢球均有2cos21cos2tgr解得：grt4,钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。2、运用等效、类比自建“等时圆”例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：12hROPH所以22()()2hOPRHHhABPHhO图5图6ABPHhOO1图2AOBC30°α1α2D6例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有gLgLgdttADAB242例2、在一竖直墙面上固定一光滑的杆AB，如图所示，BD为水平地面，ABD三点在同一竖直平面内，且连线AC=BC=0.1m一小球套在杆上自A端滑到B端的时间为：（B）A0.1sB0.2sC102D2s解析：以C为圆心作一个参考园。由结论知，小球自A到B运动的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。即AE=2R=0.2mAE=21gt2t=0.2s4、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间t。例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE滑行的时间．技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD＝DE＝10m，滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10m/s2，则滑行者在滑道AE上滑行的时间为()A.sB．2sC.sD．2s【解析】AE两点在以D为圆心、半径为R＝10m的圆上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自由下落的时间相同，t＝4Rg＝2s，选B.OABLLD图27例4、如图所示，圆弧AB是半径为R的14圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下