微分方程物理背景

微分方程的物理背景—动力机制的数学模型机动目录上页下页返回结束第二节为什么要学习常微分方程？常微分方程是物质运动动力机制的数学表述，大量的客观现实世界运动过程（包括自然界和社会界）的数学模型是常微分方程。因此，建立数学模型以后运用数学的技巧求解方程则能精确描述运动过程。如何建立数学模型？从物理、力学等已确定的自然规律出发，考虑其主要因素、忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后运用相应规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程。1.质点的弹性振动机动目录上页下页返回结束F(t)yo已确定的自然规律：1.牛顿第二定律:F=ma2.胡克(Hooke.R)定律:质点受到的弹性回复力与位移成正比，即f2=-ky其它事实：;)(,)(22dtyddtdvtadtdytv质点在介质中运动所受阻力与质点运动速度成正比，即f1=-rv.令质点离开平衡位置的距离为y(t),介质中运动所受阻力为f1，弹性回复力为f2，所受外力为F=f3，各力的数学表示代入牛顿第二定律得：)(3122tFkydtdyrfdtydmmaii)(22tFkydtdyrdtydm即得再令mFtfmkmr)(,,22得规范式).(2222tfydtdydtyd特例1：真空中落体运动机动目录上页下页返回结束当r=k=0,即介质阻尼与弹性约束为0，且F=mg,则微分方程为gdtyd22再若t=0时，v(0)=v0,y(0)=y0则得00221)(ytvgtty特例2：简谐振动当r=0，F=0,则微分方程为0222ydtyd可以验证方程的解为)cos()(atAty机动目录上页下页返回结束2.RLC交变电路CRU(t)L已确定的事实：1.欧姆定律：2.楞次定律:3.Kirchhoff定律:其它事实：;,,,dtduCdtdQiCQudtdiLuRiuCCLR令电流i=i(t)，电阻的电势降uR=uR(t)，电感的电势降uL=uL(t)，电容的电势降uC=uC(t)，电容电荷Q=Q(t)，电路输入电压U=U(t),根据Kirchhoff定律有0)(CLRuuutU即得)(22tUudtduRCdtudLCCCC再令yuLCtUtfLCLRC,)()(,1,22得规范式).(2222tfydtdydtyd※这说明有阻尼的机械振动与RLC电路，其运动变化机理，在数学上是统一的。机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3.冷却与衰变例1.1一温度为500℃的物体置于20℃的环境中，2分钟后温度降为400℃，问10分钟后温度降至多少？冷却定律：物体温度下降速率和物体与环境温差成正比令温度为T=T(t),将冷却定律表示成数学形式即得)20(TkdtdT其中k为比例常数，从而得t与T的微元关系20TdTkdt两边积分得为待定常数CCeTkt,20根据初始数据t=0,T=500以及t=2,T=400即得C=480,1924ln21k在表达式1924ln248020teT中代入t=10得.)2419(480205T第二节目录上页下页返回结束例1.2放射性衰变已确定规律：放射性物质的放射速率与质量本身成正比令放射性物质的质量为m=m(t),将放射律表示成数学形式即得kmdtdm其中k为比例常数，从而得t与m的微元关系mdmkdt两边积分得为待定常数CCemkt,令初始数据为t=t0,m=m0即得00ktemk从而放射过程为)(00ttkemm机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束4.人口增长（1）马尔萨斯人口律：若人口的生存环境宽松，食物充裕，则其增长率与人口基数成正比。设某地区人口总数为N=N(t),由马尔萨斯人口律得0,aaNdtdN从而得t与N的微元关系NdNadt两边积分得为待定常数CCeNat,令初始数据t=t0,N=N0即得)(00ttaeNN（2）Logistic人口律：在人口群体中，由于生存竞争而产生一个与人口平方成正比的负增长率。设某地区人口总数为N=N(t),由Logistic律得0,2abNaNdtdN令ab,N(t0)=N0解得)(0000)(ttaebNabNaNNotNN0ba5.溶液淡化例1.3.容器内有100升浓度10﹪的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入净水，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，问过程开始后1分钟时溶液的浓度？溶液淡化是一不均匀的过程，须用微元法来分析！设时刻为t时溶液的含盐量为x=x(t),任选时间微元区间[t,t+dt],由于dt充分小，因此微元时间间隔内过程可视为均匀的。根据微分的定义即得dttxdx1002根据厨师数据x(0)=10,即得溶液淡化的数学模型：10)0(1002xtxdtdx求解后得：2)1001(10)(ttx，1分钟后26.110)60(x，浓度为36.110160100)60(x6.二体运动（行星绕日运动）Kepler三律（被称为“太空宪法”）：（A）行星绕日运动轨道是椭圆，太阳是轨道的一焦点上；（B）太阳与行星的连线（经线）在相同时间间隔内扫过相同的面积；（C）行星公转周期的平方与它到太阳平均距离的立方成正比。精确解释建立行星绕日运动的数学模型万有引力定律：行星受到太阳的引力f与矢径r的平方成反比，与行星质量m与太阳质量M的乘积成正比，引力方向与矢径方向相反。运用牛顿第二定律，表示成数学表达式得：maurGmMfr2其中ur表示单位矢径。xPoɵ令这里表示动点P的极坐标此时矢径为sin,cosryrx)(),(ttrrsincos)(rrtUOP记sincosru表示矢径方向的单位向量，cossinu表示与矢径正交的单位矢量则有如下关系式：rrudduuddu,cossin)(sin)(cos令v=v(t)表示U(t)的瞬时速度，则有dtdrudtdrudtdddurdtdrudtdurdtdruutrdtddttdUtvrrrrrr)()()(22222)(2)()(dtdrudtdrudtdrdtdudtrdudttdvtarr令a=a(t)表示v(t)的瞬时加速度，则有简记2222,,,dtddtrdrdtddtdrr则有urrurrtar)2()()(2代入牛顿第二定律得urrmurrmurGmMrr)2()(22由于两个单位向量的正交性即得02,22rrGMkrkrr这就是二体运动方程——由极坐标表示的行星绕日运动的微分方程。试建立具有下列性质的曲线满足的微分方程。1，曲线上任意点的切线与该点的径向夹角为。212，曲线上任意点的切线介于两个坐标之间的部分等于定长a.tantanyxxyy2222))(1(yayyxy3.容器内有100升浓度20﹪的盐溶液，若以3升/秒的匀速往容器中注入3﹪的溶液，同时又以2升/秒的速度将搅匀后的溶液排出，将溶液稀释的定量过程用微分方程来描述。txdtdx10021009