椭圆性质小结

椭圆1.122PFPFa+=2.标准方程22221xyab+=3.111PFed=4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.9．椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa−,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab−=.10．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab+=.11．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab+=.12．AB是椭圆22221xyab+=的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka⋅=−.13．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab+=+.14．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab+=内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab+=+.15．若PQ是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)rOPrOQrrab+=+==.16．若椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为1AxBy+=(0)AB≠,则(1)222211ABab+=+;(2)424222222aAbBLaAbB+=+.17．给定椭圆1C：222222bxayab+=（a＞b＞0）,2C：222222222()abbxayabab−+=+,则(i)对1C上任意给定的点00(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点M2222002222(,)ababxyabab−−−++.(ii)对2C上任一点'''00(,)Pxy在1C上存在唯一的点'M,使得'M的任一直角弦都经过'P点.18．设00(,)Pxy为椭圆（或圆）C:22221xyab+=(a＞0,.b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点00(,)Mmxmy−(1)m≠的充要条件是212211mbkkma+⋅=−⋅−.19．过椭圆22221xyab+=(a＞0,b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay=（常数）.20．椭圆22221xyab+=(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPFγ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2FPFSbγ∆=，2222(tan,tan)22abPcbccγγ±−±.21．若P为椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFFα∠=,21PFFβ∠=，则tantan22acacαβ−=+.22．椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的焦半径公式：10||MFaex=+,20||MFaex=−(1(,0)Fc−,2(,0)Fc，00(,)Mxy).23．若椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当211e−≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24．P为椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2122||||||2||aAFPAPFaAF−≤+≤+,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.25．椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：0()ykxx=−对称的充要条件是22220222()abxabk−≤+.26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P是椭圆cossinxaybϕϕ==（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sineϕ=+.29．设A,B为椭圆2222(0,1)xykkkab+=≠上两点，其直线AB与椭圆22221xyab+=相交于,PQ,则APBQ=.30．在椭圆22221xyab+=中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cossinxymababαα=−++,其中tanbxayα=−,当0y=时,90α=.31．设S为椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，00(,)Mxy是AB中点，则当lS≥Φ时，有20max()2alxce=−222(cab=−,cea=);当lSΦ时，有220max()42axblb=−,0min()0x=.32．椭圆22221xyab+=与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是22222AaBbC+≥.33．椭圆220022()()1xxyyab−−+=与直线0AxByC++=有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC+≥++.34．设椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPFα∠=,12PFFβ∠=,12FFPγ∠=，则有sinsinsinceaαβγ==+.35．经过椭圆222222bxayab+=（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则21122||||PAPAb⋅=.36．已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ⊥.（1）22221111||||OPOQab+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abab+;（3）OPQS∆的最小值是2222abab+.37．MN是经过椭圆222222bxayab+=（a＞b＞0）焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则2||2||ABaMN=.38．MN是经过椭圆222222bxayab+=（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OPMN⊥，则2222111||||aMNOPab+=+.39．设椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l：2axm=(或2bym=)上.40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42．设椭圆方程22221xyab+=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykx=的共轭直线'ykx=上,而且2'2bkka=−.43．设A、B、C、D为椭圆22221xyab+=上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则22222222cossincossinPAPBbaPCPDbaββαα⋅+=⋅+.44．已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，12FPF∠的外（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是222xya+=(()()2222222222aybxxccyaybxc+±=+±).45．设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46．过椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN=.47．设A（x1,y1）是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2121bxay−的直线L，又设d是原点到直线L的距离,12,rr分别是A到椭圆两焦点的距离，则12rrdab=.48．已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）和2222xyabλ+=（01λ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa−−−.50．设P点是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPFθ∠=，则(1)2122||||1cosbPFPFθ=+.(2)122tan2PFFSbθ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：xn=于M，N两点,则()222290()anmamMBNambna−−∠=⇔=++.52．L是经过椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点PL∈，若EPFα∠=，则α是锐角且sineα≤或sinarceα≤（当且仅当||PHb=时取等号）.53．L是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL∈，e是离心率，EPFα∠=，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sineα≤或sinarceα≤（当且仅当||abPHc=时取等号）.54．L是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL∈，EPFα∠=,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且2sineα≤或2sinarceα≤（当且仅当22||bPHacc=+时取等号）.55．已知椭圆22221xyab+=（a＞b＞0），直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则2222112(2)||||abbFAFBa−≤⋅≤（当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号）.56．设A、B是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PABα∠=,PBAβ∠=,BPAγ∠=，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAaccoαα=−.(2)2tantan1eαβ=−.(3)22222cotPABabSbaγ∆=−.57．设A、B是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且Ax、Bx的横坐标2ABxxa⋅=，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA∠=∠；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则180PABQAB∠+∠=.58．设A、B是椭圆22221xyab+=（a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA∠=∠，则点A、B的横坐标Ax、Bx满足2ABxxa⋅=；（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、