选修2-2第二章推理与证明测试2

选修2-2第二章推理与证明测试题(二)时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A．(1)的假设错误，(2)的假设正确B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确，(2)的假设错误D．(1)与(2)的假设都错误2.三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②玉树人是中国人；③玉树人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是()A．①②B．①③C．②③D．②①3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca.此证法是()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法4．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1＋ax22ax1＋x22成立．运用类比的思想方法，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上任意不同两点，则得到的结论成立的是()A.sinx1＋sinx22sinx1＋x22B.sinx1＋sinx22sinx1＋x22C.sinx1＋sinx2212sinx1＋x22D.sinx1＋sinx2212sinx1＋x225．观察下图：12343456745678910……则第10行的各数之和等于()A．92B．102C．192D．2126．设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，则x与y的大小关系为()A．xyB．x＝yC．xyD．无法确定7．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)8．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由a＋b2≥ab，a＋b＋c3≥3abc，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是()A.a1＋a2＋…an2≥a1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)B.a1＋a2＋…an3≥3a1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)C.a1＋a2＋…ann≥na1a2…an(ai∈R，i＝1,2，…，n)D.a1＋a2＋…ann≥na1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)9．已知函数y＝tanx的最小正周期为π，且满足tanx＋π4＝1＋tanx1－tanx.类比这一结论，若函数f(x)满足f(x＋m)＝1＋fx1－fx(其中m∈R，且m≠0)，那么f(x)的一个周期是()A.m4B．mC．2mD．4m10．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是()A．正四面体的内切球的半径是其高的12B．正四面体的内切球的半径是其高的13C．正四面体的内切球的半径是其高的14D．正四面体的内切球的半径是其高的1511．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)A．①②B．③④C．①④D．②③12.观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．15．观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“____________________”．这个类比命题的真假性是________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)观察下列各式：1＝1，1＋11＋2＝43，1＋11＋2＋11＋2＋3＝64，1＋11＋2＋11＋2＋3＋11＋2＋3＋4＝85.由上述等式能得出怎样的结论？请写出结论，并证明．18.(12分)用分析法和综合法证明1log519＋1log319＋1log2192.19．(12分)观察：①tan10°·tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1，②tan5°·tan10°＋tan10°·tan75°＋tan75°·tan5°＝1，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．20.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1,3Sn＝(n＋2)an，则是否存在实数a，b，c，使得an＝an2＋bn＋c对一切n∈N＋都成立？若存在，求出a，b，c；若不存在，说明理由．21.(12分)证明：tan3°是无理数．22.(12分)π为圆周率e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．答案1．A用反证法证明时，假设结论为假，应对结论进行全面否定，所以证明p＋q≤2时应假设p＋q2，所以(1)的假设错误；(2)的假设显然正确．2．A3.B4．A对于函数y＝sinx(x∈(0，π))，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，所以sinx1＋sinx22sinx1＋x22.5．C第1行、第2行、第3行、第4行各数之和分别等于12,32,52,72，…，故第10行的各数之和等于(2×10－1)2＝192.6．Ax－y＝m4－m3n－n3m＋n4＝m(m3－n3)－n(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)＝(m－n)2m＋12n2＋34n20，故xy.7．D由归纳可知，偶函数的导函数都是奇函数，故g(x)应满足g(－x)＝－g(x)．8．Da1＋a2＋…ann≥na1a2…an(ai0，i＝1,2，…，n)是基本不等式的一般形式，这里等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．9.D类比y＝tanx，可猜想f(x)的周期应为4m，证明如下：由题意得：f(x＋2m)＝f(x＋m＋m)＝1＋fx＋m1－fx＋m＝1＋1＋fx1－fx1－1＋fx1－fx＝－1fx，即f(x＋2m)＝－1fx，所以f(x＋4m)＝－1fx＋2m＝－1－1fx＝f(x)，由此可得f(x)是周期函数，它的一个周期为4m.10．C设正四面体的每一个面的面积为S，高为h，内切球半径为r，由等积法可得4·13·S·r＝13S·h，于是r＝h4，即内切球半径是高的14.11．B经验证易知①②错误，依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.12．B由已知条件得，|x|＋|y|＝n(n∈N＋)的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80，故选B.13．A解析：由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市，而甲说去过的城市比乙多，且没去过B城市，因此甲一定去过A城市和C城市．又乙没去过C城市，所以三人共同去过的城市必为A，故乙去过的城市就是A.14．f2014(x)＝x1＋2014x解析：依题意，f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f2(x)＝f(f1(x))＝fx1＋x＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝f(f2(x))＝fx1＋2x＝x1＋2x1＋x1＋2x＝x1＋3x，…，由此可猜测fn(x)＝x1＋nx，故f2014(x)＝x1＋2014x.15．F＋V－E＝2解析：因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝2.16．如果两个二面角的两个面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补假命题17．解：通过观察题中给出的各个式子，可以发现这些等式中蕴涵的基本规律，这个规律可以用一个等式来表示，即1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1(n∈N＋)．这一结论的证明如下：由于11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1＝21n－1n＋1，∴1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.18.证明：证法一：(分析法)要证1log519＋1log319＋1log2192，只需证log1930log19192，即证30192.又∵30192恒成立，∴原不等式成立．证法二：(综合法)1log519＋1log319＋1log219＝log195＋log193＋log192＝log1930log19192＝2.19．解：观察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜测推广式子为：若α＋β＋γ＝π2，且α，β，γ均不为kπ＋π2(k∈Z)，则tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝1.证明：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ.∵tan(α＋β)＝tanπ2－γ＝cotγ，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝cotγ(1－tanαtanβ)，∴tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanγtanα＝tanγ(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝tanγ(1－tanαtanβ)cotγ＋tanαtanβ＝1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝1.20．解：假设存在满足条件的a，b，c，将n＝2,3代入3Sn＝(n＋2)an中，可得a2＝3，a3＝6，代入an＝an2＋bn＋c，可得a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝3，9a＋3b＋c＝6，解得a＝12，b＝12，c＝0，∴an＝12n2＋12n.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝12×12＋12×1