平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

复习：数量积（内积）aOAbB1B1||cosOBbba在方向上的投影||||cosabab叫与数量积ab即ab记作（也叫内积）(),abab两种错写||a复习引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或在直角坐标系中，已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），如何用a与b的坐标表示abYA（x1,y1）aB(x2，y2)bOijX①_____②______③______④_____单位向量i、j分别与x轴、y轴方向相同，求11001122,,,axybxy坐标式转化为向量式转生疏到熟悉，转不会到会一、平面向量数量积的坐标表示:1122,,,0,0axybxyab1212abxxyy22bxiyj1122()()abxiyjxiyj2212122112xxixyijxyijyyj221,0,1iijj11,axiyj两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.1212abxxyy在坐标平面xoy内，已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab求·例1:已知＝(1,√3)，＝(–2,2√3),abba解：·＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;ab1、平面向量数量积的坐标表示练习：则),4,3(),1,3(),2,1(cba____)(cba(13,26)；或aaaaaa2)1(221221221122222))),,(),2,),,()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式用于计算向量的模即平面内两点间的距离公式．求||,||例1:已知＝(1,√3)，＝(–2,2√3),abab＝√12＋(√3)2＝2,a＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,b(3,3)ab||ab22||3(3)1223ab3、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),,(),,222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设向量夹角公式的坐标式：121222221122cosxxyyxyxy例1:已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),求a与b的夹角θ.cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60ºθ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab0baba垂直0),,(),,21212211yyxxbayxbyxa则（设4、两向量垂直的坐标表示0abab例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),求证：(a＋b)⊥b.证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42＝0∴(a＋b)⊥b12120xxyy与垂直：ab＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab练习：且起点坐标为(1,2)终点坐标为(x,3x),则,),4,3(abab______b41155（，）例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），求证ΔABC是直角三角形证明:∵AB=（21，32）=（1，1）AC=（21，52）=（3，3）∴ABAC=1╳（3）+1╳3=0∴AB⊥AC∴ΔABC是直角三角形注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。ABCO如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.XY(0//)ababb0abab12210xyxy12120xxyy例4:已知,当k取何值时,1).与垂直?2).与平行?平行时它们是同向还是反向?2,3,2,1babakba3bakba35、两向量垂直、平行的坐标表示＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab分析:由已知启发我们先用坐标表示向量然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。例4:已知,当k取何值时,1).与垂直?2).与平行?平行时它们是同向还是反向?解：1）这两个向量垂直解得k=192)得此时它们方向相反。解:设所求向量为(x,y),则103422yxyx54535453yxyx或)54,53()54,53(bb或(4,3),aab例3:已知求与垂直的单位向量例4:已知=(1,0)，=(2,1)，当k为何实数时，向量k－与+3(1)平行；(2)垂直所以k=13(2)由向量垂直条件得7(k－2)－3=0所以k=177ababab(1)由向量平行条件得3(k－2)=-7解：k－=(k－2,－1)ab+3=(7,3)ab逆向及综合运用5k答案：已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．两个向量的夹角问题例2（1）解析：由题设可得：12=01=-2解得（3）解析：由题设可得：1+202012（2）解析：由题设可得：1+2020122且你能发现什么结论规律吗？（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.小结：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则ab1212xxyyab12210xyxyab2.ab3.ab||||cosab0ab12120xxyy5.cos||||abab224.(1)||aa2||aa22xy121222221122xxyyxyxy(,)axy其中作业：1.课本Ｐ１08Ａ组5（1），9，10，11.2.(1,23),(1,1),,||||,;(2)(2,3),(2,4),ababababababab(1)已知求与的夹角已知求（）（）..),1,1(),32,1((1)1的夹角与，，求已知例babababa.60,1800,21cos)31(2324231babababa，，.),4,2(),3,2((2)）（）则（已知bababa72013.7)1(740)1,4(),7,0(2222babababababababa）（）法二：（）（）（法一：:,4,3,002,001:.1其中正确的个数为有四个式子babacbcabaaa基础训练题A.4个B.3个C.2个D.1个:,,.2下列结论正确的是均为单位向量已知ba1.baA22.baBbabaC平行.0.baD:04,3,2,1:,,,,.3212121212222221212211其中假命题序号是有下列命题设向量yyxxbayyxxbayxbyxayxbyxaDB⑵的值是则实数且若,1,1,1,0.4ababaA．-1B.0C.1D.2A能力训练:,0,4,1.122的夹角是与则已知baababa90.A60.B120.C150.D___,12,5,3.2的方向上投影为在则且已知abbaba_________,18,1,2.3的坐标为则且共线与已知向量xxaax.,1,330.4的夹角的余弦与求向量且的夹角为与已知baqbapbaba.,,,,,,.5的形状特征试判断四边形且中已知平面四边形ABCDaddccbbadDAcCDbBCaABABCD