高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布

二面角成都七中郑勇军问题一、二次函数的图像可从哪些方面描述？•开口方向•对称轴•与x轴的交点•与y轴的交点xyO问题二、二次函数与一元二次方程（不等式）有什么关系？函数值即y等于0时就成了一个一元二次方程。函数值即y大于或小于0时就成了一个一元二次不等式。xyO问题三、解下列一元二次不等式1、x2－2x＋3＞0∵对应方程x2－2x＋3＝0的△＝4－12＜0∴函数y＝x2－2x＋3恒为正，故不等式解集为R。2、x2＋6x－7＜0∵函数y＝x2＋6x－7开口向上，且与x轴的交点横坐标分别为－7、1，∴由图像得原不等式的解集为（－7,1）O1xy-7xyO问题四、解下列一元二次方程•1、x2－2x＋3＝0•无实根•2、x2－2x＋1＝0•有两相等实根x1＝x2＝1•3、x2－6x＋5＝0•有两相异实根x1＝5，x2＝1•4、x2＋6x－7＝0•有两相异实根x1＝－7，x2＝1思考：•可否用二次函数的相关知识反过来理解或解决一元二次方程相关问题？•可以。如用二次函数的图像与x轴交点的位置来判断实根的位置。•一元二次方程的实根存在时，有两等根、正根、负根、一正一负根等情况，其中有何规律？•这就是一元二次方程实根的分布问题，即是本节课研究的内容。问题五、关于x的一元二次方程X2＋（m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。21212340300(m)mxxmxxm01mm你首先想到了什么方法？韦达定理你还有其他思路吗？能从二次函数入手思考该问题吗？解：设方程的两实根分别为x1、x2，则解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=-02a20=m0f()＝问题五、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。{m|0＜m≤1}xy比较两种思路，作出评价：21212340300(m)mxxmxxm2(3-m)-4m0b3-m-=-02a20=m0f()＝法一：韦达定理法法二：二次函数法1、形式不同，本质一样；2、在本问题中韦达定理法更简洁。以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？以本问题的条件，你还能提出其他问题吗？问题五、关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根，求m的范围。问题是数学的心脏，是我们思维的起点。（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）两实根中，一根大于1，一根小于1；（8）两实根中有且只有一根在(0,2)；（9）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（11）一个根小于2，一个根大于4。问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（1）两正实根(已解决)其他问题：思考二、上述问题有什么规律？你能从不同角度对上述问题进行归类吗？思考一、上述（2）－（10）共九个问题你会模仿第（1）问进行解决吗？你有什么初步感觉？（难还是简单？思维清晰还是有点乱？）特点一：(1)(2)(6)与原点有关，其余与原点无关；这么多问题如何在最短时间内解决？与原点有关的问题便于用什么方法求解？韦达定理法特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10)都是两根在不同的区间内。现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”分成两组研究:第一组：(1)-(5)第二组：(6)-(10)问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（2）有两个负根9mm解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则21212340300(m)mxxmxxm（2）有两个负根问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解法二：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，由图像知只需满足以下条件：2(3-m)-4m0b3-m-=-02a20=m0f()＝9mmyx（3）两个根都小于1022)1(123204)3(2mfmabmm9mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的左边，由图像知只需满足以下条件：yx1（4）两个根都大于0.5234030522650504(m)mbm.amf(.)516mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上0.5的右边，由图像知只需满足以下条件：0.5xyO（5）两个根都在（0,2）内2340322002320(m)mm0f()mf()m12mm3问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在0与2的之间，由图像知只需满足以下条件：yx2O问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根0mm解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则2123400(m)mxxm解法二：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：0=m0f()0mmxy问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根（7）一个根大于1，一个根小于11mmf(1)=2m-20问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：1xy（8）两个根有且仅有一个在（0,2）内f(0)f(2)=m(3m-2)0320mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点有且只有一个在0与2的之间，由图像知只需满足以下条件：O2xy（9）一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内04)3(022)1(0)0(010)2(mfmfmfmfØ问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在－2与0的之间，一个在1与3之间，由图像知只需满足以下条件：-2O13xy（10）一个根在（-2,0）内，另一个根在（0,4）内045)4(0)0(010)2(mfmfmf054mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在－2与0的之间，一个在0与4之间，由图像知只需满足以下条件：-2O4xy（11）一个根小于2，一个根大于4045)4(023)2(mfmf54mm问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点一个在2以左，一个在4以右，由图像知只需满足以下条件：2O4xy根据研究，请解决以下问题：1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一个区间内时，限定时要考虑哪些方面？判别式、对称轴、区间端点对应的函数值yxkkxyyxkk12O小结两个根都小于k两个根都大于kyxk0)(20kfkab0)(20kfkabkxy一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布两个根都在（k.k)内210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，限定要考虑哪些方面？区间端点对应的函数值一般可以作出简洁限制。kxyyxkk12Ok1k2p1p2xy3、由此请你总结解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根是在同一区间还是不同区间；（2）分别用相应的限制规律得到相应不等式（组）；（3）求解不等式即得相应参数的范围。一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布小结两个根有且仅有一个在（k.k)内12x1∈(k1,k2)x2∈(p1,p2)f(k)f(k)01212120000f(k)f(k)f(p)f(p)k1k2p1p2xyyxkk12O一个根小于k，一个根大于kkxyf(k)0,问题七：应用例1若方程4320xx(m)m有两个相异实根，求m的取值范围。思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)2(3)0(1)tmtm问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。设2()(3)fttmtm，则2(3-m)-4m0b3-m-=-00m12a20=m0f()＝{m|0m1}也可用韦达定理法问题八：例2若关于x的不等式24xxm对任意x∈01,恒成立，求m的取值范围。解法一、原不等式化为240xxm，设24f(x)xxm，要0f(x)对x∈01,恒成立，因f(x)的图像开口向上，则只需要方程0f(x)无实根或两实根在01,之外，∴1640m或164021130mf()m∴3m1Oxy问题八：例2若关于x的不等式24xxm对任意x∈01,恒成立，求m的取值范围。解法二、∵24xxm对任意x∈01,恒成立∴只需24minmxx，x∈01,设2401g(x)xx,x,，∵g(x)在01,单调递减，∴13ming(x)g()，∴3m。此法叫分离参数法。练习：1．m为何值时，方程224310xmxm有两个负实根。2．关于x的方程2350xxa的一根大于－2小于0，另一根大于1小于3，求a的范围。3.关于x的方程221210(m)xmx，一根小于0，另一根大于1，求m的取值范围。2.-12a03.-1m01.1132mm1或的取值范围。求的值恒大于零，时，当函数、已知xf(x)1k1-42k-4)x-(kxf(x)52的取值范围。均成立，求实数对于任意实数、若不等式ax05a-2)x-8(a8x424思考：1a52X1或x3反思归纳，拓展深化1、通过本节课的学习，你对一元二次方程根的分布有什么认识？2、你又掌握了哪些解决问题的方法？3、你能解决可化为一元二次方程实根分布相关的问题吗？课后作业1、完成练习或思考；2、研究二次项系数a由“a＞0”变为“a≠0”时对应的规律；3、思考“分离参数法”，查阅相关资料，为以后学习、解决恒成立问题作一些准备。祝愿同学们学业有成！健康成长！（4）一个正根，一个负根且正根绝对值较大问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。0mm解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则21212340300(m)mxxmxxm（4）一个正根，一个负根且正根绝对值较大问题六：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解法二：设f(x)＝x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数